Старое и новое в теории суперхарактеров конечных групп

Задача классификации неприводимых представлений является чрезвычайно трудной, "дикой" задачей для таких групп как максимальные унипотентные, борелевские, параболические подгруппы в конечных простых группах лиевского типа. В 1962 году А. А. Кириллов предложил метод орбит, согласно которому неприводимые представления нильпотентной группы Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с коприсоединенными орбитами. В 1977 году Д. Каждан перенес метод орбит на случай конечных унипотентных групп. Однако, метод орбит не решает задачу, поскольку задача классификации коприсоединенных орбит является такой же " дикой" задачей.
В 1995–2003 годах К. Андре построил теорию базисных характеров унитреугольной группы $\mathrm{UT}(n,{\mathbb F}_q)$. Эти характеры не являются неприводимыми, но имеют много общих черт с неприводимыми характерами. Теория К. Андре была существенно упрощена Нинг Яном в 2001 г.
В работе 2008 года П. Диаконис и И. Айзекс сформулировали общее понятие теории суперхарактеров и построили теорию суперхарактеров для алгебра групп, частным случаем которой является теория базисных характеров К. Андре. В общем случае задача состоит в том, чтобы для заданной группы построить теорию суперхарактеров, наиболее приближенную к теории неприводимых характеров.
Теории суперхарактеров были посвящены многие работы. В настоящее время детально разработан случай абелевых групп; выяснена связь суперхарактеров с суммами Гаусса, Костермана, Рамануджана. Построены теории теории суперхарактеров для максимальных унипотентных подгрупп в ортогональной и симплектической группах. Решены задачи ограничения и супериндуцирования для базисных характеров.
Задача построения теории суперхарактеров для параболических подгрупп остается открытой.
В §1–2 настоящей работы будет дано авторское изложение общих положений теории суперхарактеров и построена теория суперхарактеров для алгебра групп, следуя схеме работы П. Диакониса и И. Айзекса.
В §3 анонсированы результаты автора по построению теории суперхарактеров конечных групп треугольного типа, которая в виде частного случая содержит теорию П. Диакониса и И. Айзекса для алгебра групп. Для построенной теорию получен аналог формулы А. А. Кириллова для неприводимых характеров. Показано, что ограничение суперхарактера на подгруппу треугольного типа является суммой суперхарактеров этой подгруппы. Как и в случае алгебра групп, индуцирование не работает в теории суперхарактеров. Но можно определить супериндуцирование, которое сохраняет многие свойства индуцирования, включая теоремы Фробениуса.
Библиография: 28 названий.