Начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения в случаях двукратного и трёхкратного корня вырожденного уравнения

В статье рассматриваются две начально-краевые задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения
$$ \varepsilon^{2}\left(u_{t}-\Delta u\right)=f(u,x,y,t,\varepsilon), \left(x,y,t\right)\in g\times\left(0<t\leq T\right), $$
где $\varepsilon$ — малый параметр, $\Delta$ — оператор Лапласа, в случаях когда вырожденное уравнение $f(u,x,y,t,0)=0$ имеет корень $u=\varphi(x,y,t)$, кратность которого равна двум или трём. Установлены условия, при которых каждая задача имеет решение погранслойного типа, построены и обоснованы асимптотики этих решений при $\varepsilon\longrightarrow 0$, состоящие из регулярного ряда и нескольких погранслойных рядов.
В отличие от хорошо известного случая, когда вырожденное уравнение имеет простой (однократный) корень, асимптотическое разложение погранслойного решения в случае кратного корня ведётся не по целым, а по дробным степеням малого параметра, причём эти дробные степени и также масштабы погранслойных переменных зависят от кратности корня вырожденного уравнения. Ещё одно существенное отличие состоит в том, что пограничный слой в окрестности начального момента времени оказывается трёхзонным с различным характером убывания пограничных функций и различными масштабами погранслойной переменной в разных зонах.
Сам алгоритм построения пограничных функций, известный для случая простого корня, становится непригодным и требует существенной модификации. Это относится к пограничным функциям, описывающим погранслойное поведение решения в окрестности начального момента времени, а также к угловым пограничным функциям, играющим важную роль в окрестности кривой $\partial g\times(t=0)$. Предложенный модифицированный алгоритм позволяет построить единые пограничные функции, описывающие поведение решения во всех трёх зонах пограничного слоя. В этом состоит преимущество предложенного алгоритма перед методом сращивания асимптотических разложений, когда в каждой зоне асимптотика строится раздельно, а затем производится сращивание (согласование) разложений, построенных в разных зонах.
Обоснование асимптотики (т. е. доказательство теоремы о существовании решения с построенной асимптотикой) проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, суть которого состоит в том, что подходящие нижнее и верхнее решения задачи строятся с помощью формальной асимптотики.
Библиография: 17 названий.