Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов

На кольце $\mathbb{Z}$ целых чисел можно ввести топологию $\tau$, рассматривая множество идеалов ($m$) в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложения и умножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца. Обозначим это кольцо $\mathbb{Z}_{\tau}$.
Бесконечная последовательность $x_1, x_2, \ldots$ целых чисел называется фундаментальной, если для любого $k\in\mathbb{N}\,$ существует $\mathcal{N}\in\mathbb{N}\,$ такое, что для всех $m,n>\mathcal{N}$ справедливо сравнение $x_m\equiv x_n\pmod {k!}$.
Метрическое пространство $\mathbb{Z}_\tau$ не является полным. Например, последовательность $1!, 1!+2!,\ldots,1!+2!+\ldots+n!,\ldots$ является фундаментальной, но не имеет предела в $\mathbb{Z}_\tau$. Для фундаментальных последовательностей $\{x_k\}$ и $\{y_k\}$ рассмотрим последовательности $\{x_k + y_k\}$, $\{x_k - y_k\}$, $\{x_k \cdot y_k\}$. Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца $\mathbb{Z}_\tau$ образуют кольцо.
Будем называть последовательность $c_1,c_2,\ldots$ нулевой последовательностью, если $\lim_{n\to\infty}c_n=0\,$, где предел понимается в смысле топологии кольца $\mathbb{Z}_\tau$.
Назовем фундаментальные последовательности $\{x_k\}$ и $\{y_k\}$ эквивалентными, если их разность $\{x_k - y_k\}$ является нулевой последовательностью. Это свойство является рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть определяет отношение эквивалентности.
Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Z}_\tau$.
Легко проверить, что если последовательность $\{x_k\}$ эквивалентна последовательности $\{u_k\}$, а последовательность $\{y_k\}$ эквивалентна $\{v_k\}$, то $\{x_k + y_k\}$ эквивалентна $\{u_k + v_k\}$, $\{x_k - y_k\}$ эквивалентна $\{u_k - v_k\}$, $\{x_k \cdot y_k\}$ эквивалентна $\{u_k \cdot v_k\}$. Поэтому на множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце $\mathfrak{G}$ целых полиадических чисел. Вложение кольца $\mathbb{Z}$ в $\mathfrak{G}$ осуществляется сопоставлением элементу $x\in\mathbb{Z}$ класса $\mathfrak{x}$ фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности $x,x,x,\ldots$.
Так как $\mathbb{Z}_\tau$ — метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству $\mathfrak{G}_\tau$.
Элементы $\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}_t$ имеют каноническое представление в виде ряда
\begin{equation} \nonumber \mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!, \end{equation}
где $a_n\in\{0,1,\ldots,n\}$.
Кольцо $\mathfrak{G}_\tau$ является прямым произведением колец $\mathbb{Z}_{p_i}$ по всем простым числам $p_i$, при этом ряд $\mathfrak{a}$ сходится в любом $\mathbb{Z}_{p_i}$. Действительно, степень, в которой простое число $p$ входит в разложение числа $n!$ на простые множители, равна $\frac{n-S_n}{p-1}$, где $S_n$ — сумма цифр в $p$-ичном разложении числа $n$. Следовательно, для любого $p_i$ при $n\to\infty$
\begin{equation} \nonumber |a_n\cdot n!|_{p_i}\to 0 , \end{equation}
что является достаточным условием сходимости ряда $\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!$ в $\mathbb{Z}_{p_i}$.
В работе исследуются арифметические свойства почти полиадических чисел
$$\sum_{n=1}^\infty a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)\ldots\left(a_{i}+(n-1)b_{i}\right),i=1,...,m,$$
где числа $a_{i},b_{i}\in\mathbb Z$, $\left(a_{i},b_{i}\right)=1$.
Вводятся понятия алгебраическое полиадическое число, трансцендентное полиадическое число, бесконечно трансцендентное полиадическое число, глобально трансцендентное полиадическое число, алгебраически зависимые полиадические числа, алгебраически независимые полиадические числа, бесконечно алгебраически независимые полиадические числа, глобально алгебраически независимые полиадические числа.
Доказана теорема о бесконечной алгебраической независимости почти полиадических чисел $\mathfrak{a}_i,$ определенных равенствами
\begin{equation} \nonumber \sum_{n=1}^\infty a_i\left(a_i+b_{i}\right)\ldots\left(a_i+(n-1)b_{i}\right)=\mathfrak{a}_i, \end{equation}
где $a_i,b_{i}\in\mathbb{Z}$, $\left(a_i,b_{i}\right)=1$, $i=1,\ldots, m$.
$$\frac{a_i}{b_{i}}-\frac{a_j}{b_{j}}\not\in\mathbb{Z},\quad i\ne j .$$
Для доказательства теоремы о бесконечной алгебраической независимости почти полиадических чисел использовалась теорема:
Пусть $f_1(z),\ldots,f_m(z)$ входят в рассматриваемый подкласс $F$-рядов, составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений $Y_i^\prime = \sum_{j=1}^m B_{i,j}(z)Y_i,\; i=1,\ldots,m$, и алгебраически независимы над $\mathbb{Q}(z)$. Пусть число $\xi\in\mathbb{Z},\; \xi\neq0$ и отлично от особых точек системы
$$Y_i^\prime = \sum_{j=1}^m B_{i,j}(z)Y_i,\; i=1,\ldots,m.$$
Тогда почти полиадические числа
$$\sum_{n=1}^\infty a_i\left(a_i+b_{i}\right)\ldots\left(a_i+(n-1)b_{i}\right)=\mathfrak{a}_i$$
бесконечно алгебраически независимы.,
которая получена с помощью модифицированного метода Зигеля–Шидловского для $F$-рядов, и теорема доказывающая алгебраическую независимость над $\mathbb Q(z)$ рядов $f_1(z),\ldots, f_{m}(z)$:
Пусть $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ — различные рациональные числа, отличные от $0$ и пусть $\lambda_i-\lambda_j\not\in\mathbb{Z}$, $i\ne j$. Тогда ряды $f_1(z),\ldots, f_m(z)$ алгебраически независимы над $\mathbb Q(z)$.,
которая имеет ту же схему доказательства, что и доказательства теорем В. Х. Салихова.
Библиография: 15 названий.