О дифференцировании по параметру

Исследование арифметической природы значений продифференцированных по параметру обобщенных гипергеометрических функций проводилось во многих работах, см. [1]–[7], а также соответствующие главы в книгах [8] и [9]. Первоначально для этих целей использовался метод Зигеля. Этот метод применим для исследования гипергеометрических функций с рациональными параметрами и c его помощью были получены результаты о трансцендентности и алгебраической независимости значений таких функций, а также соответствующие количественные результаты (например, оценки мер алгебраической независимости).
Возможности применения метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональными параметрами ограничены. В классической форме метод Зигеля не удается применить в этой ситуации, и здесь потребовались некоторые дополнительные соображения. Следует, однако, отметить, что наиболее общие результаты об арифметической природе значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами получены с помощью метода Зигеля (в модифицированном виде, см. по этому поводу [10] и [11]). Здесь речь не идет об алгебраической независимости и приходится ограничиться лишь результатами о линейной независимости соответствующих значений.
Рассуждения по методу Зигеля начинаются с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей в начале координат достаточно высокий порядок нуля. Такая форма строится с помощью принципа Дирихле. Именно невозможность провести соответствующее рассуждение для функций с иррациональными параметрами служит препятствием при попытках применить метод Зигеля в случае иррациональных параметров.
Уже давно было замечено, что в некоторых случаях линейную приближающую форму можно построить эффективно, указав явные формулы для ее коэффициентов. Этот метод значительно уступает методу Зигеля в общности получаемых результатов. Однако, именно с помощью метода, основанного на эффективном построении линейных приближающих форм, были получены наиболее точные оценки снизу модулей линейных форм от значений гипергеометрических функций, а также во многих случаях были получены результаты об арифметической природе значений таких функций в случае иррациональных параметров (см., например, [12]).
Эффективная конструкция линейных приближающих форм для функций (2) была предложена в работе [13]. Эта конструкция использовала контурный интеграл, который применялся ранее для получения результатов об оценках линейных форм от значений гипергеометрических функций с различными параметрами, см. [14].
В настоящей работе предлагается новый подход к построению линейной приближающей формы для функций (2). Используется связь между гипергеометрическими функциями различных типов, которая позволяет упомянутое построение линейной приближающей формы свести к более простой задаче.
В заключении даны краткие указания относительно возможных приложений.
Библиография: 15 названий.