Free commutative $g$-dimonoids

Диалгеброй называется векторное пространство, снабжённое двумя бинарными операциями $\dashv $ и $\vdash $, удовлетворяющими следующим аксиомам:
\begin{gather*} (D1)\quad (x\dashv y)\dashv z=x\dashv (y\dashv z),\\ (D2)\quad (x\dashv y)\dashv z=x\dashv (y\vdash z),\\ (D3)\quad (x\vdash y)\dashv z=x\vdash (y\dashv z),\\ (D4)\quad (x\dashv y)\vdash z=x\vdash (y\vdash z),\\ (D5)\quad (x\vdash y)\vdash z=x\vdash (y\vdash z). \end{gather*}
Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичности в алгебраической $K$-теории. Алгебры Лейбница являются некоммутативной версией алгебр Ли, а диалгебры – версией ассоциативных алгебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить $[x, y] =xy-yx$. Диалгебры связаны с алгебрами Лейбница аналогично тому как связаны между собой ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращается в полугруппу. Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы.
Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие $0$-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями $\dashv $ и $\vdash$, удовлетворяющими аксиомам $(D2)$ и $(D4)$. Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр Рота-Бакстера, возникающих на 0-диалгебрах.
Понятие ассоциативной $0$-диалгебры, то есть $0$-диалгебры с двумя бинарными операциями $\dashv$ и $\vdash$, удовлетворяющими аксиомам $(D1)$ и $(D5)$, является линейным аналогом понятия $g$-димоноида. Для того, чтобы получить $g$-димоноид, мы должны опустить аксиому $(D3)$ внутренней ассоциативности в определении димоноида. Аксиомы димоноида и $g$-димоноида появляются в тождествах триалгебр и триоидов, введенных Лодэ и Ронко.
Класс всех $g$-димоноидов образует многообразие. Строение свободных $g$-димоноидов и свободных $n$-нильпотентных $g$-димоноидов было описано в статье второго автора. Класс всех коммутативных $g$-димоноидов, то есть $g$-димоноидов с коммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия $g$-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построен в статье первого автора.
В этой статье мы строим свободный коммутативный $g$-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном $g$-димоноиде.
Библиография: 15 названий.