Бинарная аддитивная задача с числами специального вида

В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида $n_1+n_2=N$ с условиями $n_1\in\mathbb{N}(\alpha,I_1)$, $n_2\in\mathbb{N}(\beta,I_2)$, где $\mathbb{N}(\alpha,I)=\{n\in\mathbb{N}:\{n\alpha\}\in I\}$. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, имеющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным последовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества $\mathbb{N}(\alpha,I)$ являются частными случаями так называемых квазирешеток. Ранее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая $\alpha=\beta$. В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетривиальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений.
В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного члена асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств $\alpha$ и $\beta$. Если $1$, $\alpha$ и $\beta$ линейно независимы над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен $|I_1||I_2|N$. В случае линейной зависимости $1$, $\alpha$ и $\beta$ имеет место эффект Гриценко–Мотькиной, то есть главный член имеет вид $\rho(\{N\beta\})N$, где $\rho$ — достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли $\{N\beta\}$. В работе получен алгоритм вычисления функции $\rho$, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств $\mathbb{N}(\alpha,I_1)$, $\mathbb{N}(\beta,I_2)$. В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.
Библиография: 23 названия.