|
Чебышевский сборник, 2015, том 16, выпуск 3, страницы 246–275
(Mi cheb417)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Бинарная аддитивная задача с числами специального вида
А. А. Жуковаa, А. В. Шутовb a Владимирский филиал Российской академии народного
хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации
b Владимирский государственный университет имени А. Г. и
Н. Г. Столетовых
Аннотация:
В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида
$n_1+n_2=N$ с условиями $n_1\in\mathbb{N}(\alpha,I_1)$,
$n_2\in\mathbb{N}(\beta,I_2)$, где
$\mathbb{N}(\alpha,I)=\{n\in\mathbb{N}:\{n\alpha\}\in I\}$. Такие
множества описывают, в частности, натуральные числа, имеющие
заданное окончание разложения по линейным рекуррентным
последовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того,
множества $\mathbb{N}(\alpha,I)$ являются частными случаями так
называемых квазирешеток. Ранее рассматривались аддитивные задачи
на множествах такого вида для случая $\alpha=\beta$. В этом случае
были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной
задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов
тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы
Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел
в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина
обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетривиальный
эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном
члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный
эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных
соображений.
В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного члена
асимтотической формулы для числа решений существенным образом
зависит от арифметических свойств $\alpha$ и $\beta$. Если $1$,
$\alpha$ и $\beta$ линейно независимы над кольцом целых чисел
$\mathbb{Z}$, то главный член асимптотики имеет плотностный вид,
то есть равен $|I_1||I_2|N$. В случае линейной зависимости $1$,
$\alpha$ и $\beta$ имеет место эффект Гриценко–Мотькиной, то есть
главный член имеет вид $\rho(\{N\beta\})N$, где $\rho$ —
достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция
от дробной доли $\{N\beta\}$. В работе получен алгоритм вычисления
функции $\rho$, а также изучены ее основные свойства. В частности,
получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также
рассмотрен численный пример вычисления данной функции для
конкретных множеств $\mathbb{N}(\alpha,I_1)$,
$\mathbb{N}(\beta,I_2)$. В завершающей части работы обсуждается
ряд открытых проблем в данной области.
Библиография: 23 названия.
Ключевые слова:
аддитивная задача, равномерное распределение.
Поступила в редакцию: 02.06.2015
Образец цитирования:
А. А. Жукова, А. В. Шутов, “Бинарная аддитивная задача с числами специального вида”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 246–275
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb417 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i3/p246
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 221 | PDF полного текста: | 81 | Список литературы: | 42 |
|