О взвешенном числе целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах

В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвешивающая функция выбрана как экспонента, в показателе которой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных форм с одними и тем же дискриминантом. Выбор такого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопроса о числе целых точек лежащих в некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах.
Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных сумм Гаусса, мы рассматриваем многомерную задачу о взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специального вида.
Речь идёт об асимптотике с остаточным членом для величины
$$ I_{h} \left( {n, s} \right) = \sum\limits_{p \left( \overline{x}, \overline{y}, \overline{z}, \overline{t} \right) = h} { e^{-\frac{\omega \left( \overline{x}, \overline{y}, \overline{z}, \overline{t} \right) }{n}} }, $$
где $n \to \infty$ — вещественный параметр,
$$ p \left( \overline{x},\overline{y},\overline{z},\overline{t} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right) - Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right) \right\}, $$

$$ \omega\left(\overline{x},\overline{y},\overline{z},\overline{t}\right) = \sum\limits_{i = 1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)}\left( {x_i, y_i} \right) + Q_i^{(2)}\left( {z_i, t_i} \right) \right\}, $$
$Q_i^{(1)}, Q_i^{(2)}$ — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы одного и того же дискриминанта $\delta_{F}$; $h \ne 0$ — целое число.
При выводе асимптотической формулы для $I_{h} \left(n, s \right)$ существенно используются:
1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы (в нашем случае достаточно использовать двойной $\Theta$-ряд вместо многомерного)
2) формула для
$$ \int\limits_{- \frac{1}{q(q+N)}}^{\frac{1}{q(q+N)}} { \frac{e^{-2\pi i h x}}{\left( \frac{1}{n^2} + 4 \pi^2 x^2 \right)^S} } dx $$

3) оценка для суммы Клостермана
$$ K \left( {u, v; q} \right) = {\sum\limits_{x\, \text{mod}\, q}}^{\prime} e^{\frac{2 \pi i}{q} \left( ux + vx^{'} \right)}, $$
где $l l^{'} \equiv \pmod{q}$.
Полученная асимптотическая формула для $I_{h} \left(n, s \right)$ обобщает один из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на четырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов соответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в случае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает также один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл $W \left( N \right)$, для которого дана только оценка сверху, при этом в нашем случае $N = \left[ \sqrt{n} \right]$.
В дальнейшем результат о величине $I_{h} \left(n, s \right)$ може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.
Библиография: 16 названий.