|
Чебышевский сборник, 2015, том 16, выпуск 3, страницы 209–218
(Mi cheb415)
|
|
|
|
Об одной задаче А. В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах
Р. А. Дохов Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Аннотация:
В этой работе дается некоторое развитие ранее проведенных исследований по задаче
А. В. Малышева о числе целых точек, лежащих в некоторых областях на многомерных
гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения
асимптотических формул для количества целых точек в областях типа Де Лури
на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной
гиперболической поверхности
\begin{equation*}
p\left(x_1, \ldots, x_4\right) =
\sum\limits_{k=1}^{4}
a_k x_k^2 -m =0,
\quad
m \ne 0
\end{equation*}
в области $\Omega_p (L)$ на ней определяемой неравенством
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{4}
\left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L
\end{equation*}
получил асимптотическую формулу (при $L\to\infty$ фиксированных $a_1, a_2,$ $a_3, a_4$,
и $m$) для величины $R \left( \Omega_p (L) \right)$, равной количеству целых точек
в области $\Omega_p (L)$ на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы
Де Лури не оценивает.
В дальнейшем в [1] дается обобщение этого результата на многомерный
гиперболоид, задаваемый уравнением
\begin{equation*}
p = p\left(x_1, \ldots, x_s\right) =
\sum\limits_{k=1}^{s}
a_k x_k^2 +
\sum\limits_{k=1}^{s}
b_k x_k + c = 0,
\end{equation*}
где $a_k$, $b_k$, $(k = 1, \ldots, s)$, $c\ne 0$ — целые числа, причем коэффициенты
$a_k$ не все одного знака, а область $\Omega_p (L)$ на этом гиперболоиде задается
неравенством
\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{s}
\left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L.
\end{equation*}
В развитие указанной задачи А. В. Малышева мы в уравнении гиперболоида рассматриваем
квадратичную форму, эквивалентную диагональной, а область
\begin{equation*}
\Omega_p (L) :
\sum\limits_{k=1}^{s}
\left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L
\end{equation*}
заменяется на область
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{s}
\left\{
Q_i^{(1)} \left(x_i, y_i\right) +
Q_i^{(2)} \left(z_i, t_i\right)
\right\} \leqslant L,
\end{equation*}
где $Q_i^{(1)}$ и $Q_i^{(2)}$ — бинарные квадратичные формы, эквивалентные
диагональным формам.
Обозначим через $R \left( \Omega_p \left( L \right),s \right)$
количество целых точек, лежащих в области
$\Omega_p \left( L \right)$ на $4s$-мерном гиперболоиде
\begin{equation*}
\sum\limits_{i = 1}^{s}
\left\{
Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right) -
Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right)
\right\}
= h,
\end{equation*}
где $Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right)$,
$Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right)$ — положительные
целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта $d$;
$h \ne 0$, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным.
При выводе нашего асимптотического результата о величине
$R \left( \Omega_p, L \right)$ используется теорема о взвешенном числе целых
точек $I_h (n, s)$ из [2] при $n\to\infty$ и комплексный вариант
тауберовой теоремы с остаточным членом для степенных рядов
(см. [5, 6]).
Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату
Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показателе
$k=2$, но при таком значении $k$ наше уравнение гиперболической поверхности
имеет несколько более общий вид.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова:
задача А. В. Малышева, целые точки, многомерный гиперболоид, квадратичные формы, взвешенное число целых точек, тауберова теорема, асимптотическая формула.
Поступила в редакцию: 29.07.2015
Образец цитирования:
Р. А. Дохов, “Об одной задаче А. В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 209–218
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb415 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i3/p209
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 188 | PDF полного текста: | 60 | Список литературы: | 42 |
|