Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2015, том 16, выпуск 3, страницы 209–218 (Mi cheb415)  

Об одной задаче А. В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах

Р. А. Дохов

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Список литературы:
Аннотация: В этой работе дается некоторое развитие ранее проведенных исследований по задаче А. В. Малышева о числе целых точек, лежащих в некоторых областях на многомерных гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения асимптотических формул для количества целых точек в областях типа Де Лури на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной гиперболической поверхности
\begin{equation*} p\left(x_1, \ldots, x_4\right) = \sum\limits_{k=1}^{4} a_k x_k^2 -m =0, \quad m \ne 0 \end{equation*}
в области $\Omega_p (L)$ на ней определяемой неравенством
\begin{equation*} \sum\limits_{k=1}^{4} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L \end{equation*}
получил асимптотическую формулу (при $L\to\infty$ фиксированных $a_1, a_2,$ $a_3, a_4$, и $m$) для величины $R \left( \Omega_p (L) \right)$, равной количеству целых точек в области $\Omega_p (L)$ на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы Де Лури не оценивает.
В дальнейшем в [1] дается обобщение этого результата на многомерный гиперболоид, задаваемый уравнением
\begin{equation*} p = p\left(x_1, \ldots, x_s\right) = \sum\limits_{k=1}^{s} a_k x_k^2 + \sum\limits_{k=1}^{s} b_k x_k + c = 0, \end{equation*}
где $a_k$, $b_k$, $(k = 1, \ldots, s)$, $c\ne 0$ — целые числа, причем коэффициенты $a_k$ не все одного знака, а область $\Omega_p (L)$ на этом гиперболоиде задается неравенством
\begin{equation*} \sum\limits_{k=1}^{s} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L. \end{equation*}

В развитие указанной задачи А. В. Малышева мы в уравнении гиперболоида рассматриваем квадратичную форму, эквивалентную диагональной, а область
\begin{equation*} \Omega_p (L) : \sum\limits_{k=1}^{s} \left| a_k \right| x_k^2 \leqslant L \end{equation*}
заменяется на область
\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)} \left(x_i, y_i\right) + Q_i^{(2)} \left(z_i, t_i\right) \right\} \leqslant L, \end{equation*}
где $Q_i^{(1)}$ и $Q_i^{(2)}$ — бинарные квадратичные формы, эквивалентные диагональным формам.
Обозначим через $R \left( \Omega_p \left( L \right),s \right)$ количество целых точек, лежащих в области $\Omega_p \left( L \right)$ на $4s$-мерном гиперболоиде
\begin{equation*} \sum\limits_{i = 1}^{s} \left\{ Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right) - Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right) \right\} = h, \end{equation*}
где $Q_i^{(1)} \left( {x_i, y_i} \right)$, $Q_i^{(2)} \left( {z_i, t_i} \right)$ — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта $d$; $h \ne 0$, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным.
При выводе нашего асимптотического результата о величине $R \left( \Omega_p, L \right)$ используется теорема о взвешенном числе целых точек $I_h (n, s)$ из [2] при $n\to\infty$ и комплексный вариант тауберовой теоремы с остаточным членом для степенных рядов (см. [5, 6]).
Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показателе $k=2$, но при таком значении $k$ наше уравнение гиперболической поверхности имеет несколько более общий вид.
Библиография: 16 названий.
Ключевые слова: задача А. В. Малышева, целые точки, многомерный гиперболоид, квадратичные формы, взвешенное число целых точек, тауберова теорема, асимптотическая формула.
Поступила в редакцию: 29.07.2015
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Образец цитирования: Р. А. Дохов, “Об одной задаче А. В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 209–218
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dok15}
\by Р.~А.~Дохов
\paper Об одной задаче А.\,В.~Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах
\jour Чебышевский сб.
\yr 2015
\vol 16
\issue 3
\pages 209--218
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb415}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=24398934}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb415
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i3/p209
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:188
    PDF полного текста:60
    Список литературы:42
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024