О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей

В работе изучается вид и свойства минимальных многочленов остаточных дробей в разложении алгебраических чисел в цепные дроби.
Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей $\alpha$ степени $n\ge2$, начиная с некоторого номера $m_0=m_0(\alpha)$, последовательность остаточных дробей $\alpha_m$ является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.
Дано определение обобщённого числа Пизо, которое отличается от определения чисел Пизо отсутствием требования целочисленности.
Показано, что для произвольной вещественной алгебраической иррациональности $\alpha$ степени $n\ge2$, начиная с некоторого номера $m_0=m_0(\alpha)$, последовательность остаточных дробей $\alpha_m$ является последовательностью обобщённых чисел Пизо.
Найдена асимптотическая формула для сопряжённых чисел к остаточным дробям обобщённых чисел Пизо. Из этой формулы вытекает, что сопряжённые к остаточной дроби $\alpha_m$ концентрируются около дроби $-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}$ либо в интервале радиуса $O\left(\frac1{Q_{m-1}^2}\right)$ в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности, либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной алгебраической иррациональности, имеющей комплексные сопряжённые числа.
Установлено, что, начиная с некоторого номера $m_0=m_0(\alpha)$, справедлива рекуррентная формула для неполных частных $q_m$ разложения вещественной алгебраической иррациональности $\alpha$, выражающая $q_m$ через значения минимального многочлена $f_{m-1}(x)$ для остаточной дроби $\alpha_{m-1}$ и его производной в точке $q_{m-1}$.
Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности $\alpha$ в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби $-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}$.
Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.
В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа $\alpha$ и о его предельных точках.
Библиография: 20 названий.