Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics

С. С. Рышков в своих работах исследовал экстремальные формы и экстремальные решетки. Экстремальные формы и экстремальные решетки связаны с жесткими (в смысле М. Громова и других) математическими объектами. В своих работах, а также в работах с коллегами С. С. Рышков пришел и к другим жестким объектам.
Жесткие и мягкие задачи, методы и результаты проявляются уже при исследовании классических проблем теории чисел. Остановимся очень кратко на интерпретации с точки зрения жестких и мягких методов бинарной и тернарной проблем Гольдбаха, проблем гольдбахова типа и методов их исследования. Так как в бинарной (соответственно, тернарной) проблемах Гольдбаха в их современной постановке речь идет о равенствах типа $2n = p_1 + p_2 $ (соответственно $2n+1 = p_1 + p_2 + p_3 $), где $ n $ — натуральное число, большее $1$ (соответственно $ n $ больше $2$), $p_1, p_2, p_3 $ — простые числа, то в своей постановке это жесткие проблемы; результаты их исследования также являются жесткими.
Однако методы их исследования включают как жесткие методы — точная формула метода Харди– Литтлвуда–Рамануджана (Х-Л-Р), получаемая методами комплексного анализа, так и сочетание жестких и мягких (soft) методов исследования главного члена в форме Х-Л-Р и остаточного члена методом тригонометрических сумм Виноградова.
Ряд задач аналитической теории чисел допускают динамическую интерпретацию. Отметим в связи с этим, что на связи методов аналитической теории чисел и теории динамических систем обращал внимание и развивал такие аналогии А. Г. Постников.
Целью предлагаемой работы не является исчерпывающее введение в жесткость в арифметике и в динамике. Скорее мы сделали попытку представить элементарные методы, результаты и некоторые основные идеи в этой области, вместе с обзором ряда новых результатов. Мы не даем исчерпывающего обзора возможных тем, а также не входим в детали доказательств.
После представления элементарного теоретико-числового, алгебраического и алгебро-геометрического введения в жесткие неархимедовы пространства на основе локальных одномерных полных регулярных колец, деревьев и формальных схем по И. Р. Шафаревичу, Ж.-П. Серру, Дж. Тэйту, Д. Мамфорду, мы даем обзор некоторых новых результатов и методов в направлении жесткости.
Изложение включает (но не исчерпывает) результаты и методы H. Furstenberg, G. A. Margulis, G. D. Mostow, R. Zimmer, J. Bourgain, A. Furman, A. Lindenstrauss, S. Mozes, J. James, T. Koberda, K. Lindsey, C. Silva, P. Speh, A. Ioana, K. Kedlaya, J. Tuitman, и других.
Библиография: 52 название.