О некоторых обобщениях сильно симметричных многогранников

Рассматриваются связанные с симметрией свойства замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных (платоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направление обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника.
Выпуклый многогранник называется симметричным, если он имеет хотя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранника пересекаются в одной точке, которая называется центром многогранника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются многогранниками с центром.
Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные им-многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогранных углов [9]–[15]. Интересно отметить, что среди сильно симметричных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым, или равноугольно полуправильным многогранникам.
По определению, свойство сильной симметричности многогранника требует глобальной симметричности многогранника относительно каждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому представляет интерес нахождение более слабых условий симметрии на элементы многогранника.
Дано новое доказательство локального критерия сильной симметричности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последовательных вращений.
Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих понятие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами.
Доказано, что каждый многогранник с изолированными несимметричными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно вращения граней; а каждый многогранник с изолированными несимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно вращения граней многогранника. При этом в каждом из этих классов существует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых бипирамид.
Библиография: 15 наименований.