|
Чебышевский сборник, 2015, том 16, выпуск 2, страницы 35–65
(Mi cheb389)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 9 статьях)
Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби
А. Д. Брюно Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша
Аннотация:
1. Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого пространства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные приближения к корневым подпространствам заданных форм дают точки, образы которых лежат на границе модульного многогранника. Граница модульного многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисления выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубических иррациональностей с положительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие.
2. Универсальное обобщение. Пусть в $n$-мерном вещественном пространстве $\mathbb R^n$ заданы $l$ линейных и $k$ квадратичных форм ($n = l + 2k$). Модули этих форм задают отображение пространства $\mathbb R^n$ в положительный ортант $\mathbf S=\mathbb R^m_+$ $m$-мерного вещественного пространства $\mathbb R^m$, $m = l + k$. При этом целочисленная решётка $\mathbb Z^n$ в $\mathbb R^n$ отображается в некоторое множество $\mathbf Z$ в $\mathbf S$. Замыкание выпуклой оболочки $\mathbf H$ множества $\mathbf Z\backslash 0$ является многогранным множеством. Целочисленные точки из $\mathbb R^n$, отображающиеся на границу $\partial\mathbf H$ многогранника $\mathbf H$, дают наилучшие диофантовы приближения к совокупности корневых подпространств $m$ заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени $n$, доказывается, что многогранник $\mathbf H$ имеет $m-1$ независимый период. Это обобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По теореме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно $m-1$ фундаментальных единиц. Граница $\partial\mathbf H$ многогранника $\mathbf H$ вычисляется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.
Библиография: 75 названий.
Ключевые слова:
цепная дробь, модульный многогранник, программа вычисления выпуклого многогранника.
Поступила в редакцию: 30.04.2015
Образец цитирования:
А. Д. Брюно, “Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби”, Чебышевский сб., 16:2 (2015), 35–65
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb389 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i2/p35
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 490 | PDF полного текста: | 202 | Список литературы: | 48 |
|