Структура дискриминантного множества вещественного многочлена

Проблема описания структуры дискриминантного множества вещественного многочлена часто возникает при решении различных прикладных задач, например, при описании множества устойчивости положений равновесия многопараметрических систем, при вычислении нормальной формы системы Гамильтона в окрестности положения равновесия в случае кратных частот. В работе рассматривается структура дискриминантного множества многочлена с вещественными коэффициентами. Предлагается два подхода к его изучению. Первый подход основан на исследовании нулей идеалов, образованных набором субдискриминантов исходного многочлена. Рассмотрены различные способы вычисления субдискриминантов. Во втором подходе предлагается исследовать особые точки дискриминантного множества. Методами компьютерной алгебры показано, что для малых значений степени исходного полинома оба подхода эквивалентны, но первый более предпочтителен из-за меньшего размера идеалов.
Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации дискриминантного множества в пространстве коэффициентов многочлена. С прикладной точки зрения наибольший интерес представляет описание компоненты коразмерности 1 дискриминантного множества. Именно эта компонента делит пространство коэффициентов на области с одинаковой структурой корней многочлена. Набор компонент различных размерностей дискриминантного множества имеет иерархическую структуру. Каждая компонента большей размерности может рассматриваться как некоторая касательная развертывающая поверхность, образованная линейными многообразиями соответствующей размерности. Роль направляющей при этом выполняет компонента дискриминантного множества, имеющая размерность на единицу меньше и на которой исходный многочлен обладает единственным кратным корнем, а остальные его корни простые. Начиная с одномерного алгебраического многообразия размерности 1, на котором исходный многочлен имеет единственный корень максимальной кратности, на следующем шаге алгоритма получаем описание многообразия, на котором многочлен имеет уже 2 корня — один простой и один кратный. Повторяя последовательно шаги алгоритма, получаем в итоге параметрическое представление компоненты коразмерности 1 дискриминантного множества.
Приведены примеры дискриминантных множеств кубического многочлена и многочлена четвертой степени.
Библиография: 15 названий.