$\mathrm{BR}$-множества

Владимирская школа теории чисел долгое время занималась исследованием квазипериодических разбиений. Постепенно отсюда появилась задача о равномерном распределении точек на торе, при этом возникала необходимость в точных оценках остаточных членов этого распределения.
Область исследования работы относится к разделу теории чисел, занимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их многомерных динамических модификаций обусловлена современной тенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические системы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалансированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория коммуникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика.
Целью работы является построение новых многомерных множеств ограниченного остатка и нахождение точных оценок остаточного члена для этих множеств. Естественно было начать решение с двухмерного тора. В результате были построены три семейства трехпараметрических двумерных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных разверток думерного тора. Теперь в распоряжении автора находятся одномерные и двумерные множества ограниченного остатка. Возникает вопрос: нельзя ли на основе уже известых множеств, построить новые множества больших размерностей. Так, с использованием произведения торических разверток, строятся четыре семейства четырехпараметрических трехмерных множеств ограниченного остатка, на основе гексагональных призм-разверток трехмерного тора, полученных при умножении полуинтервалов Гекке и двумерных гексагональных разверток. Для всех построенных множеств определены точные оценки остаточного члена и доказана многомерная теорема Гекке, найдены средние значения отклонений, а в двумерном случае построена оптимизация границ отклонений.
В статье приведен обзор основных результатов автора по множествам ограниченного остатка.
Библиография: 26 наименований.