Mixed joint universality for $L$-functions from Selberg’s class and periodic Hurwitz zeta-functions

В 1975 г. российский математик С. М. Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана $\zeta(s)$, $s=\sigma+it$. Грубо говоря, это означает, что широкого класса аналитические функции могут быть приближены равномерно на компактных подмножествах полоса $\{s\in\mathbb{C}:1/2 <\sigma<1\}$ сдвигами $\zeta(s+i\tau)$, $\tau\in \mathbb{R}$. Позже окозалось, что и многие другие классические дзета и $L$-функции также обладают универсальностью в смысле Воронина. Кроме того, некоторые дзета и $L$-функции имеют совместное свойство универсальности. В этом случае, данный набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами дзета или $L$-функций.
В статье мы даем рассширенный текст нашего доклада, прочитанного на конференции, посвященной памяти известного числовика профессора А. А. Карацубы. Статья содержит обзор основных результатов о так называемой смешанной совместной универсальности, начало которой было было дано японским математиком Г. Мишу в 2007, доказавшим совместную универсальность дзета-функций Римана и Гурвица. В широком смысле смешанная совмесная универсальность понимается как совмесная универсальность дзета и $L$-функций, имеющих эйлеровское произведение по простым числам и неимеющих такого произведения.
В 1989 г. А. Сельберг ввел замечательный класс $\mathcal{S}$ рядов Дирихле, удовлетворяющих некоторым натуральным условиям, включая эйлеровское прозведение. Периодические дзета-функции Гурвица являются обобщением классических дзета-функций Гурвица и не имеют эйлеровного произведения. В статье формулируется новая теорема о смешанной совместной универсальности для $L$-функций из класса Сельберга и периодических дзета-функций Гурвица. Для доказатеьства может быть применен вероятностный метод.
Библиография: 24 названия.