Joint disctrete universality of Dirichlet $L$-functions. II

В 1975 г. С. М. Воронин доказал универсальность $L$-функций Дирихле $L(s,\chi)$, $s=\sigma+it$. Это означает, что для всякого компакта $K$ полосы $\{s\in \mathbb{C}: \tfrac{1}{2}<\sigma<1\}$ любая непрерывная и неимеющая нулей в $K$, и аналитическая внутри $K$ функция может быть приближена равномерно на $K$ сдвигами $L(s+i\tau,\chi)$, $\tau\in \mathbb{R}$. Изучая функциональную независимость $L$-функций Дирихле, С. М. Воронин также установил их совместную универсальность. В этом случае набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами $L(s+i\tau,\chi_1), \dots, L(s+i\tau,\chi_r)$, где $\chi_1,\dots, \chi_r$ попарно не эквивалентные характеры Дирихле.
Такая универсальность называется непрерывной универсальностью. Также известна дискретная универсальность $L$-функций Дирихле. В этом случае набор аналитических функций приближается дискретными сдвигами $L(s+ikh,\chi_1), \dots, L(s+ikh,\chi_r)$, где $h$ некоторое фиксированное положительное число, а $k\in \mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup\{0\}$. Такая постановка задачи была дана Б. Багчи в 1981 г., однако может рассматриваться более общий случай. В [3] было изучено приближение аналитических функций сдвигами $L(s+ikh_1,\chi_1), \dots, L(s+ikh_r,\chi_r)$ с различными $h_1>0,\dots, h_r>0$. Настоящая статья посвящена приближению сдвигами $L(s+ikh_1,\chi_1),$ $\dots, L(s+ikh_{r_1},\chi_{r_1}), L(s+ikh,\chi_{r_1+1}),$ $\dots, L(s+ikh,\chi_r)$, с различными $h_1,\dots, h_{r_1}, h$. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел для множества
\begin{align*} L(h_1,\dots,h_{r_1}, h; \pi)=\big\{(h_1\log p:\; p\in \mathcal{P}), \dots, (h_{r_1}\log p:\; p\in \mathcal{P}),\\ (h\log p:\; p\in \mathcal{P});\pi \big\}, \end{align*}
где $\mathcal{P}$ – множество всех простых чисел.
Библиография: 10 названий.