Об асимптотике распределения алгебраических чисел при возрастании их высот

До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный промежуток в зависимости от его положения и длины.
Пусть $\mathbb{A}_n$ — множество алгебраических чисел степени $n$, а $H(\alpha)$ — обычная высота алгебраического числа $\alpha$, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследованию следующей функции:
$$ \Phi_n(Q, x) := \# \left\{ \alpha \in \mathbb{A}_n \cap \mathbb{R} : H(\alpha)\le Q, \ \alpha < x \right\}. $$
Недавно автором была найдена точная асимптотика функции $\Phi_n(Q,x)$ при $Q\to +\infty$. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для $n=2$ усилена оценка остатка в асимптотике для $\Phi_2(Q,x)$, и получена формула:
$$ \Phi_2(Q, +\infty) = \lambda\, Q^3 - \kappa\, Q^2 \ln Q + O(Q^2), $$
где $\lambda$ и $\kappa$ — эффективные постоянные.
Библиография: 16 названий.