О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток

В статье дается расширенный текст доклада, сделаного автором 30 января 2015 года в г. Москве на международной конференции, посвященной памяти профессора А. А. Карацубы, проходившей в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН и МГУ имени М. В. Ломоносова.
В докладе были приведены факты из истории развития теории гиперболической дзета-функции, даны определения и обозначения.
Основное содержание доклада было сосредоточено на обсуждении актуальных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Были выделены следующие перспективные направления современных исследований:

• Проблема правильного порядка убывания гиперболической дзета-функции при $\alpha\to\infty$;
• Проблема существования аналитического продолжения в левую полуплоскость $\alpha=\sigma+it \, (\sigma\le1)$ гиперболической дзета-функции решётки $\zeta_H(\Lambda|\alpha)$;
• Аналитическое продолжение для случая решёток С. М. Воронина $\Lambda(F, q)$;
• Аналитическое продолжение для случая решётки совместных приближений;
• Аналитическое продолжение для случая алгебраической решётки $\Lambda(t, F)= t\Lambda(F)$;
• Аналитическое продолжение для случая произвольной решётки $\Lambda$;
• Проблема поведения гиперболической дзета-функции решётки $\zeta_H(\Lambda|\alpha)$ в критической полосе;
• Проблема значений тригонометрических сумм сеток.

В качестве перспективного метода исследования перечисленных проблем был выделен подход, основанный на изучении возможности предельного перехода по сходящейся последовательности декартовых решёток.
Библиография: 19 названий.