Совместное распределение примитивных целых точек в замкнутой области

Пусть $\Omega\subset \mathbf{R}^2$ — произвольная выпуклая область. Точка $(0,0)$ лежит внутри области или на границе. Граница $\partial \Omega$ области задана в полярных координатах функцией $r_{\Omega}(\theta)$ из $C^3$. Для произвольного $R\ge 1$ определим область $\Omega_R=\{(Rx,Ry) \vert (x,y) \in \Omega\}$ и множество
$$\mathcal F (\Omega,R)=\{A\in \Omega_R\cap \mathbf{Z}^2 \vert A=(x,y), \text{НОД}(x,y)=1 \}$$
— множество примитивных точек решетки $\mathbf{Z}^2,$ лежащих в $\Omega_R$. В работе мы изучаем совместное распределение длин отрезков, соединяющих начало координат и точки из $\mathcal F (\Omega,R)$. Мы получили асимптотическую формулу
$$\frac{\#\Phi(R)}{\#\mathcal F (\Omega,R)} =2\int_0^{\beta}\!\!\!\int_{0}^{\alpha} [\alpha'+\beta'\ge 1]d\alpha' d\beta'+O\big(R^{-\frac{1}{3}}\log^{\frac{2}{3}} R\big),$$
где $[A]=1,$ если $A$ — истинно, и $[A]=0,$ если $A$ — ложно и для $\alpha,\beta\in [0,1]$ величина $\#\Phi(R)$ равна числу фундаментальных параллелограммов решетки $\mathbf{Z}^2,$ у которых длины $d_1,d_2$ сторон не превосходят $\alpha \cdot R\cdot r_{\Omega}(\theta_1)$, $\beta \cdot R\cdot r_{\Omega}(\theta_2)$.
Библиография: 4 названия.