Как зависят дискриминанты целочисленных многочленов от взаимного расположения корней?

Пусть $n\in\mathbb{N}$ – фиксированное число, $Q>1$ – некоторый натуральный параметр, и $\mathcal{P}_n(Q)$ обозначает множество целочисленных многочленов степени $n$ и высоты, не превосходящей $Q$. Для заданного многочлена $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$ степени $n$, число
$$ D(P)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2 $$
называется дискриминантом многочлена $P(x)$, где $\alpha_1, \ldots,\alpha_n\in\mathbb{C}$ – корни многочлена $P(x)$.
В данной работе мы изучаем следующую проблему о числе многочленов с малыми дискриминантами: для заданного $0\le v\le 2$ и достаточно большого $Q$ оценить величину $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$, где $\mathcal{P}_n(Q,v)$ обозначает класс многочленов $P\in \mathcal{P}_n(Q)$ таких, что
$$ 0<|D(P)|\le Q^{2n-2-2v}. $$

Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера.
В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для $\#\mathcal{P}_3(Q,v)$ при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов.
Интересно, что величина $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$ принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только $k$, $2\le k<n$, корней, то величина $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$ будет меньше.
Библиография: 15 названий.