О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко.
Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений $AX-XB=D$ и $X-AXB=D$ типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора $L$, соответствующего однородной части уравнений $AX-XB=D$ и $X-AXB=D$ типа Ляпунова.
Используя технику псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор $L$, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного.
Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра.
Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.
Библиография: 19 названий.