Проблема Варинга с натуральными числами специального вида

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами специального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена — задачи с простыми числами. Они являются классическими проблеми теории чисел о числе решений уравнения $p_1^n+p_2^n+\cdots +p_k^n=N$ в простых числах $p_1,\ p_2,\ldots , p_k$, где $k\ge 2$ и $n\ge 1$ — натуральные числа. При $k=3$, $n=1$ — задача Гольдбаха, $k=5$, $n=2$ — задача Хуа Ло-Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа $p_i$, $i=1,2,\ldots,k$, наложены дополнительные ограничения вида $a<\{\eta p_i^n\}<b,$ где $a$ и $b$ — произвольные действительные числа, $0\le a < b \le 1$, $\eta$ — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди–Литтлвуда–Виноградова. Полученные формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:
$$ \sigma_k (N,a,b)=\sum_{|m|<\infty} e^{2\pi i m(\eta N-0,5 k(a+b))} \frac{\sin^k \pi m (b-a)}{\pi ^k m^k}. $$
Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел: $l^2_1+l^2_2+l^2_3+l^2_4=N.$ Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с целыми числами $l_i$, $i=1,2,3,4$, удовлетворяющими условию $a<\{\eta l_i\}<b$. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в основном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида $ \sigma_k (N,a,b)$ не возникает. Проблема Варинга — это задача о представлении любого натурального $N$ суммой $ x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N, $ где $x_1, x_2, \ldots, x_k$ — натуральные числа. В данной работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами $x_i$, $i=1,2,\ldots,k$, такими, что $a\le \{\eta x_i^n\}<b$, где $\eta$ — алгебраическое иррациональное число. Здесь в главном члене появляется ряд $ \sigma_k (N,a,b)$, как и в задачах Гольдбаха и Хуа Ло-Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию $a<\{\eta p_i^n\}<b,$ $i=1,2,\ldots,k$. Основным результатом работы является получение асимптотической формулы для числа решений $J(N)$ проблемы Варинга с числами специального вида:
$$ J(N)=I(N)\sigma_k(N,a,b)+O(N^{\frac{k}{n}-1-\frac{c}{n^3\log n}}), $$
где $I(N)$ — число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных числах $x_1, x_2, \ldots, x_k$, $c=c(\eta)>0$, $n\ge 3$,
$$k\ge k_0 = \left\{
\begin{array}{ll} 2^n+1, & \hbox{если $3\le n\le 10$,}\\ 2[n^2(2\log n+\log \log n +5)], &\hbox{если $n>10$}. \end{array}
\right.$$

Библиография: 20 названий.