Прямое произведение $n$-арных групп

Понятие $n$-арной группы является обобщением бинарной группы, поэтому многие результаты из теории групп имеют $n$-арный аналог в теории $n$-арных групп. Но имеются существенные отличия в этих теориях. Например, множитель прямого произведения $n$-арных групп не всегда имеет изоморфную копию в этом произведении (в работе указан пример). Доказано, что в прямом произведении $\prod_{i\in I}\langle A_i,f_i\rangle$ $n$-арных групп имеется $n$-арная подгруппа, изоморфная $\langle A_j,f_j\rangle$ ($j\in I$), тогда и только тогда, когда найдется некоторый гомоморфизм из $\langle A_j,f_j\rangle$ в $\prod_{i\in I,i\ne j}\langle A_i,f_i\rangle.$ Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы в прямом произведении $n$-арных групп каждый из прямых множителей имел изоморфную копию в этом произведении и пересечение этих копий одноэлементно (как в группах) – в каждом прямом множителе имеется идемпотент.
На любой $n$-арной группе можно определить бинарную группу, которая помогает изучать данную $n$-арную группу, т.е. верна теорема Глускина–Хоссу: на всякой $n$-арной группе $\langle G,f\rangle$ для элемента $e\in G$ можно определить бинарную группу $\langle G,\cdot\rangle$, в которой найдутся автоморфизм $\varphi(x)=f(e,x,c_1^{n-2})$ и элемент $d=f(\overset{(n)}{e})$ такие, что выполнены условия:
\begin{align*} &f(x_1^n)=x_1\cdot\varphi(x_2)\cdot\ldots\cdot\varphi^{n-1}(x_n)\cdot d, ~~ x_1,x_2,\ldots,x_n\in G;\qquad\qquad\qquad\!(1)\\ &\varphi(d)=d;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\,\,\,(2)\\ &\varphi^{n-1}(x)=d\cdot x\cdot d^{-1}, ~~ x\in G.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3) \end{align*}
Группу $\langle G,\cdot\rangle$, которая возникает в теореме Глускина–Хоссу, называют ретрактом $n$-арной группы $\langle G,f\rangle$.
Верна и обратная теорема Глускина–Хоссу: в любой группе $\langle G,\cdot\rangle$ для выбранных автоморфизма $\varphi$ и элемента $d$ с условиями (5) и (6), задается $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$, где $f$ действует по правилу (4). Такую $n$-арную группу называют ($\varphi, d$)-определенной на группе $\langle G,\cdot\rangle$ и обозначают $der_{\varphi,d}\langle G,\cdot\rangle$.
Найдена связь между $n$-арной группой, ($\varphi, d$)-определенной на декартовом произведении групп и $n$-арными группами, которые ($\varphi_i, d_i$)-определены на множителях этого произведения: пусть $\prod_{i\in I}\langle A_i,\cdot_i\rangle$ — декартово произведение групп и $\varphi_i$, $d_i$ — автоморфизм и элемент в группе $\langle A_i,\cdot_i\rangle$ с условиями (5) и (6) для любого $i\in I$. Тогда
$$der_{\varphi,d}\prod_{i\in I}\langle A_i,\cdot_i\rangle=\prod_{i\in I}der_{\varphi_i,d_i}\langle A_i,\cdot_i\rangle,$$
где $\varphi$ – автоморфизм декартова произведения групп $\prod_{i\in I}\langle A_i,\cdot_i\rangle$, заданный покомпонентно по правилу:для любого $a\in \prod_{i\in I}A_i$, $\varphi(a)(i)=\varphi_i(a(i))$ (такой автоморфизм назовем диагональным), и $d(i)=d_i$ для любого $i\in I$.
В теории $n$-арных групп неразложимыми $n$-арными группами являются конечные примарные и бесконечные полуциклические $n$-арные группы (построенные по теореме Глускина–Хоссу на циклических группах). Мы наблюдаем $n$-арный аналог неразложимости циклических групп. Однако, в отличии от групп, конечно порожденная полуабелева $n$-арная группа не всегда разложима в прямое произведение конечного числа неразложимых полуциклических $n$-арных групп. Доказано, что любая конечно порожденная полуабелева $n$-арная группа изоморфна прямому произведению конечного числа неразложимых полуциклических $n$-арных групп (беcконечных либо конечных примарных) тогда и только тогда, когда в ретракте этой $n$-арной группы автоморфизм $\varphi$ из теоремы Глускина–Хоссу сопряжен некоторому диагональному автоморфизму.
Библиография: 18 названий.