Дроби Фарея и перестановки, порожденные дробными долями $\{i\alpha\}$

Пусть $\alpha\in (0;1)$ — иррационально. Задачи о распределении дробных долей $\{i\alpha\}$ на интервале $(0;1)$ являются классическими задачами теории чисел. В частности, со времен Г. Вейля, доказавшего равномерную распределенность данной последовательности по модулю 1, активно рассматриваются различные оценки для остаточного члена асимптотической формулы для числа точек данной последовательности, попавших в заданный интервал. Другой круг вопросов связан с знаменитой теоремой о трех длинах (гипотезой Штейнгауза), утверждающей что разбиение единичного отрезка, порожденное точками рассматриваемой последовательности, состоит из отрезков двух или трех различных длин, причем в последнем случае длина наибольшего отрезка в точности равна сумме длин двух оставшихся. Изучение геометрии получаемых разбиений оказалось тесно связанным с отображениями первого возвращения для поворота окружности, проблемой Гекке–Кестена о множествах ограниченного остатка, комбинаторикой последовательностей Штурма, динамикой двухцветных поворотов окружности и рядом других задач.
Настоящая работа посвящена комбинаторным свойствам последовательности $\{i\alpha\}$, а именно перестановкам $\pi_{\alpha,n}$, порожденным точками $\{i\alpha\}$, $1\leq i\leq n$. Доказано, что данные перестановки находятся во взаимно-однозначном соответствии с интервалами разбиения Фарея порядка $n$, то есть разбиением отрезка $[0;1]$, порожденным несократимыми рациональными дробями вида $\frac{a}{b}$ со знаменателем $0<b\leq n$. Доказательство основано на одной теореме В. Т. Шош, позволяющей вычислить всю перестановку $\pi_{\alpha,n}$ через $\pi_{\alpha,n}(1)$ и $\pi_{\alpha,n}(n)$. Также используется тот факт, что концы интервалов разбиения Фарея совпадают с точками разрыва функций $\{k\alpha\}-\{l\alpha\}$. В качестве приложения показано, что среди перестановок $\pi_{\alpha,n}$ при фиксированном $n$ имеется ровно $1+\sum_{k=2}^n \varphi(k)$ различных. Еще один результат утверждает, что перестановка $\pi_{\alpha,n}$ однозначно определяет перестановки $\pi_{\alpha,m}$ с $n<m<\pi_{\alpha,n}(1)+\pi_{\alpha,n}(n)$ и не определяет однозначно перестановку $\pi_{\alpha,m}$ с $m=\pi_{\alpha,n}(1)+\pi_{\alpha,n}(n)$.