Асимптотика последовательности чисел Белла

Числа Белла $B(s)$, как известно, определяют количество разбиений $s$-элементного множества на классы и с увеличением $s$ имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики $s >>1$ последовательности $\{B(s)\}$ чисел Белла $B(s)$, например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискретное пространство элементарных событий, содержащее $s$ точек с заданным законом распределения вероятностей $p_1;…;p_s$, $p_1+\ldots+p_s=1$. На конфигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения.
В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла $\{B(s)\}$. Основной результат работы представляет соотношение: $\lim\limits_{s\to\infty}\dfrac{B(s)B(s+2)}{B^2(s+1)}=1$, где $B(s)$; $B(s+1)$; $B(s+2)$ — числа Белла с номерами $s$; $s+1$; $s+2$. Этот результат показывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем $x*= B(s+1) / B(s)$. В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стирлинга установлена асимптотика $B(s) ~ St(s; n*) ~(n^*)^s/(n^*)! $, где $n*= [x*]$. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.