Порождающие множества $n$-арных групп

Определение $n$-арной группы получается из определения группы заменой ассоциативной и обратимой бинарной операции на ассоциативную и обратимую на каждом месте $n$-арную операцию.
В данной статье изучается связь между порождающими множествами $ n $-арной группы и порождающими множествами группы, к которой приводима данная $ n $-арная группа согласно теореме Поста–Глускина–Хоссу.
В первой части статьи описывается процесс, который позволяет, зная порождающее множество группы, к которой приводима данная $ n $-арная группа в соответствии с указанной теоремой, находить порождающее множество самой $ n $-арной группы. Доказано, что если группа $\langle A,\circ_a\rangle$, полученная с помощью элемента $a$ из $n$-арной группы $\langle A,[~]\rangle$ по теореме Поста–Глускина–Хоссу, порождается множеством $M$, то $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ порождается множеством $M\cup\{a\}$.
$n$-Арная группа $\langle A,[~]\rangle$ называется производной от группы $A$, если
$$[a_1a_2\ldots a_n]=a_1a_2\ldots a_n$$
для любых $a_1,a_2,\ldots, a_n\in A$. Найдены условия, при выполнении которых порождающие множества группы и $n$-арной группы, производной от этой группы, совпадают. Доказано, что $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от группы $\langle A,\circ\rangle$ с единицей $e$ и порождающим множеством $M$, также порождается множеством $M$, если
$$c_1\circ c_2\circ\ldots\circ c_{m(n-1)+1}=e$$
для некоторых $c_1,c_2,\ldots, c_{m(n-1)+1}\in M$, $m\geq 1$. Отсюда выводится следствие: $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от группы $\langle A,\circ\rangle$ конечного периода $m(n-1)+1\geq 3$ с порождающим множеством $M$, также порождается множеством $M$. В частности, $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от циклической группы $\langle A,\circ\rangle$ порядка $m(n-1)+1\geq 3$, является циклической и порождается тем же элементом, что и группа $\langle A,\circ\rangle$.
Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для $n$-арных групп.
Во второй части статьи изучается обратная задача нахождения порождающих множеств бинарных групп, если известны порождающие множества $n$-арных групп, из которых данные бинарные группы получаются (согласно теореме Поста–Глускина–Хоссу). Доказано, что группа $\langle A,\circ_a\rangle$, полученная с помощью элемента $a$ из $n$-арной группы $\langle A,[~]\rangle$ с порождающим множеством $M$, порождается множеством $M\cup\{d=[\underbrace{a\ldots a}_n]\}$, если для автоморфизма $\beta(x)=[ax\bar a\underbrace{a\ldots a}_{n-3}]$ группы $\langle A,\circ_a\rangle$ выполнено условие
\begin{equation} M^{\beta}=\{[aM\bar a\underbrace{a\ldots a}_{n-3}]\}\subseteq M. \label{a1} \end{equation}
Из этого имеем следствие: пусть $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$ порождается множеством $M$, удовлетворяющим (1) для некоторого $a\in M$. Тогда:

• группа $\langle A,\circ_a\rangle$ порождается множеством $(M\diagdown\{a\})\cup\{d\}$;
• если $a$ – идемпотент в $\langle A,[~]\rangle$, то группа $\langle A,\circ_a\rangle$ порождается множеством $M\diagdown\{a\}$.

В конце работы описаны порождающие множества бинарных групп $\langle A,\circ_a\rangle$, найденные исходя из известных порождающих множеств $n$-арных групп $\langle A,[~]\rangle$ с непустым центром $Z(A)$.