|
Чебышевский сборник, 2014, том 15, выпуск 1, страницы 89–109
(Mi cheb328)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Порождающие множества $n$-арных групп
А. М. Гальмакa, Н. А. Щучкинb a Могилевский государственный университет продовольствия
b Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Аннотация:
Определение $n$-арной группы получается из определения группы
заменой ассоциативной и обратимой бинарной операции на
ассоциативную и обратимую на каждом месте $n$-арную операцию.
В данной статье изучается связь между порождающими множествами
$ n $-арной группы и порождающими множествами группы, к которой
приводима данная $ n $-арная группа согласно теореме
Поста–Глускина–Хоссу.
В первой части статьи описывается процесс, который позволяет,
зная порождающее множество группы, к которой приводима данная $ n $-арная группа в соответствии с указанной теоремой, находить порождающее множество самой $ n $-арной группы.
Доказано, что если группа $\langle
A,\circ_a\rangle$, полученная с помощью элемента $a$ из $n$-арной
группы $\langle A,[~]\rangle$ по теореме Поста–Глускина–Хоссу,
порождается множеством $M$, то $n$-арная группа $\langle
A,[~]\rangle$ порождается множеством $M\cup\{a\}$.
$n$-Арная группа $\langle A,[~]\rangle$ называется производной от
группы $A$, если $$[a_1a_2\ldots a_n]=a_1a_2\ldots a_n$$ для любых
$a_1,a_2,\ldots, a_n\in A$. Найдены условия, при выполнении
которых порождающие множества группы и $n$-арной группы,
производной от этой группы, совпадают. Доказано, что $n$-арная
группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от группы $\langle
A,\circ\rangle$ с единицей $e$ и порождающим множеством $M$, также
порождается множеством $M$, если
$$c_1\circ c_2\circ\ldots\circ c_{m(n-1)+1}=e$$ для некоторых
$c_1,c_2,\ldots, c_{m(n-1)+1}\in M$, $m\geq 1$. Отсюда выводится
следствие: $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от
группы $\langle A,\circ\rangle$ конечного периода $m(n-1)+1\geq 3$
с порождающим множеством $M$, также порождается множеством $M$. В
частности, $n$-арная группа $\langle A,[~]\rangle$, производная от
циклической группы $\langle A,\circ\rangle$ порядка $m(n-1)+1\geq
3$, является циклической и порождается тем же элементом, что и
группа $\langle A,\circ\rangle$.
Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для
$n$-арных групп.
Во второй части статьи изучается обратная задача нахождения порождающих
множеств бинарных групп, если известны порождающие множества $n$-арных
групп, из которых данные бинарные группы получаются (согласно теореме Поста–Глускина–Хоссу). Доказано, что группа $\langle
A,\circ_a\rangle$, полученная с помощью элемента $a$ из $n$-арной
группы $\langle A,[~]\rangle$ с порождающим множеством $M$, порождается множеством
$M\cup\{d=[\underbrace{a\ldots a}_n]\}$, если для автоморфизма
$\beta(x)=[ax\bar a\underbrace{a\ldots a}_{n-3}]$ группы $\langle
A,\circ_a\rangle$ выполнено условие
\begin{equation}
M^{\beta}=\{[aM\bar a\underbrace{a\ldots a}_{n-3}]\}\subseteq M.
\label{a1}
\end{equation}
Из этого имеем следствие: пусть $n$-арная группа $\langle
A,[~]\rangle$ порождается множеством $M$, удовлетворяющим (1) для некоторого $a\in M$. Тогда:
- группа $\langle A,\circ_a\rangle$ порождается множеством
$(M\diagdown\{a\})\cup\{d\}$;
- если $a$ – идемпотент в $\langle A,[~]\rangle$, то группа
$\langle A,\circ_a\rangle$ порождается множеством
$M\diagdown\{a\}$.
В конце работы описаны порождающие множества бинарных групп
$\langle A,\circ_a\rangle$, найденные исходя из известных порождающих множеств $n$-арных
групп $\langle A,[~]\rangle$ с непустым центром $Z(A)$.
Ключевые слова:
$n$-арная группа, порождающие множества, автоморфизм.
Поступила в редакцию: 20.02.2014
Образец цитирования:
А. М. Гальмак, Н. А. Щучкин, “Порождающие множества $n$-арных групп”, Чебышевский сб., 15:1 (2014), 89–109
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb328 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v15/i1/p89
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 366 | PDF полного текста: | 96 | Список литературы: | 48 |
|