К теореме Бэра–Капланского для квадратично-разложимых групп без кручения

Взаимосвязь структуры абелевой группы со структурой кольца ее эндоморфизмов является классической проблемой в теории абелевых групп. В частности, Бэром и Капланским было доказано, что если группы $A$ и $B$ — периодические, то группа $A$ изоморфна группе $B$ тогда и только тогда, когда их кольца эндоморфизмов изоморфны. В более общем случае, когда группы $A$ и $B$ смешанные или без кручения, теорема Бэра–Капланского не имеет места.
В данной статье рассматривается класс $p$-локальных абелевых групп без кручения конечного ранга. Пусть $K$ — поле такое, что $\mathbb{Q}\subset K\subset\widehat{\mathbb{Q}}_p$ и пусть $R=K\cap\widehat{Z}_p,$ где $\mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел, $\widehat{\mathbb{Z}}_p$ — кольцо целых $p$-адических чисел, $\widehat{\mathbb{Q}}_p$ — поле $p$-адических чисел. Поле $K$ называется полем расщепления (кольцо $R$ называется кольцом расщепления) для $p$-локальной редуцированной абелевой группы без кручения конечного ранга или, что $A$ является $K$-разложимой группой, если $A\otimes_{\mathbb{Z}_p}R$ является прямой суммой делимого $R$-модуля и свободного $R$-модуля. В работе охарактеризованы $p$-локальные абелевы группы без кручения конечного ранга с квадратичным полем расщепления. В качестве применения доказано, что $K$-разложимые $p$-локальные абелевы группы без кручения $A$ и $B$ изоморфны в том и только в том случае, если изоморфны их кольца эндоморфизмов.