О структурных константах Джека и их вычислении

Алгебра классов сопряжённости и алгебра двойных смежных классов — классические коммутативные подалгебры групповой алгебры симметрической группы. Структурные константы этих алгебр вызвали значительный интерес у комбинаториков в связи с тем, что они представляют собой число разложений данной перестановки в упорядоченное произведение перестановок с заданной структурой циклов. Несмотря на сходство свойств эти константы обычно изучались отдельно. Для обеих семей структурных констант они равны суммам характеров — неприводимых характеров симметрической группы и зональных сферических функций, двух частных случаев более общей семьи характеров, называемых характерами Джека.
Характеры Джека являются коэффициентами в разложении по базису степенных симметрических многочленов симметрических функций Джека, семьи симметрических функций, индексируемых параметром $\alpha$. Структутные константы алгебры классов соответствуют случаю $\alpha =1$ (в этом случае симметрические функции Джека пропорциональны полиномам Шура). Структурные константы алгебры двойных смежных классов относятся к случаю $\alpha = 2$ (в этом случае симметрические функции Джека являются зональными полиномами). Структурные константы Джека позволяют рассматривать их с единой точки зрения для произвольного параметра $\alpha$. Настоящая работа посвящена этим обобщённым коэффициентам и их вычислению. Точнее, мы концентрируем наше внимание на обобщении формулы для числа разложений перестановки с заданной цикловой структурой в произведение $r$ транспозиций. Мы пользуемся действием оператора Лапласа–Белтрами на симметрические функции Джека для доказательства общей формулы и даём более простые её эквиваленты для некоторых значений $r$.