О свободных подгруппах в группах Артина с древесной структурой

Пусть $G$ — конечно порожденная группа Артина с копредставлением $G = <a_1, ..., a_n; \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i ,j = \overline{1, n}, i\neq j>$, где $ \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}$ — слово длины $m_{ij}$ , состоящее из $m_{ij}$ чередующихся букв $a_i$ и $a_j,i\neq j$, $m_{ij}$ — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, где $m_{ij}\geq 2,i\neq j$. Если группе $G$ соответствует конечный связный дерево-граф $\Gamma$ такой, что вершинам некоторого ребра $e$ графа $\Gamma$ соответствуют образующие $a_i$ и $a_j$, то ребру $e$ соответствует соотношение вида $\langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i\neq j$. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной структурой.
Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой).
Группу $G$ можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При этом от графа $\Gamma$ группы $G$ перейдем к графу $\overline{\Gamma}$ следующим образом: вершинам графа $\overline{\Gamma}$ поставим в соответствие группы Артина на двух образующих $G_{ij} = <a_i, a_j; \langle a_ia_j \rangle^{m_{ij}}=\langle a_ja_i \rangle^{m_{ji}}, i\neq j>$, а ребру $\overline{e}$, соединяющему вершины, соответствующие $G_{ij}$ и $G_{jk}$, — циклическую подгруппу $<a_j>$.
В настоящей работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой: пусть $H$ — конечно порожденная подгруппа группы Артина $G$ с древесной структурой, причем для любого $g \in G$ и любой подгруппы $G_{ij},i\neq j,$ выполнено равенство $gHg^{-1}\cap G_{ij} =E$, то $H$ является свободной.
В доказательстве основной теоремы использованы идеи В. Н. Безверхнего о приведении множества образующих подгруппы к специальному.