Некоторые аппроксимационные свойства разрешимых групп конечного ранга

Получено обобщение одной классической теоремы Шмелькина о полициклических группах. А. Л. Шмелькин доказал, что если $G$ — полициклическая группа, то она почти аппроксимируема конечными $p$-группами для любого простого числа $p$. Напомним, что группа $G$ называется аппроксимируемой конечными $p$-группами, если для каждого неединичного элемента $a$ группы $G$ существует гомоморфизм группы $G$ на конечную $p$-группу, при котором образ элемента $a$ отличен от 1. Группа $G$ называется почти аппроксимируемой конечными $p$-группами, если она содержит подгруппу конечного индекса, которая аппроксимируема конечными $p$-группами.
Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа $G$ называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число $r$ такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы $G$ порождается не более чем $r$ элементами. Для разрешимой группы конечного ранга получено следующее необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными $\pi $-группами для подходящего конечного множества $\pi $ простых чисел.
Группа $G$ конечного ранга аппроксимируема конечными $\pi $-группами для некоторого конечного множества $\pi $ простых чисел тогда и только тогда, когда $G$ является редуцированной поли-(циклической, квазициклической, рациональной) группой. Напомним, что группа $G$ называется редуцированной, если в ней нет неединичных полных подгрупп. Группу $H$ мы называем полной, если в ней из любого элемента $h$ можно извлечь корень любой натуральной степени.
Доказано, что если разрешимая группа конечного ранга аппроксимируема конечными $\pi $-группами для некоторого конечного множества $\pi $ простых чисел, то она почти аппроксимируема конечными нильпотентными $\pi $-группами. Доказано также следующее обобщение сформулированной выше теоремы Шмелькина.
Пусть $\pi $ — фиксированное конечное множество простых чисел. Разрешимая группа $G$ конечного ранга почти аппроксимируема конечными $\pi $-группами тогда и только тогда, когда $G$ — редуцированная поли-(циклическая, квазициклическая, рациональная) группа, не содержащая $\pi $-полных элементов бесконечного порядка.
Напомним, что элемент $g$ группы $G$ называется $\pi $-полным, если для каждого $\pi $-числа $m$ из элемента $g$ можно извлечь в группе $G$ корень $m$-й степени.