Формулы обращения Мёбиуса на абелевых полугруппах

Выясняется, на каких локально конечных абелевых полугруппах \(X\) с единицей ${1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}}$ имеется функция со значениями в коммутативном кольце с единицей, аналогичная классической функции Мёбиуса натурального аргумента.
В отличие от теории Роты такая функция существует не всегда, и существование непосредственно связывается с нулями \(\zeta\)–функции полугруппы в характерах с конечными носителями с одной стороны и характеристикой кольца значений с другой. Для некоторых колец ответ упрощается. Например, целозначная функция Мёбиуса существует тогда и только тогда, когда уравнение \(x^2=x\) не имеет в \(X\) никаких решений, кроме \(x={1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}}\). Библ. 12.