Об экстремальной нумерации $\mathbb{Z}^2_n$

Найдено точное изопериметрическое неравенство для графа специального вида, получены следствия для совместных диофантовых приближений.
Пусть $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, \alpha_1, \alpha_2$, 1 линейно независимы на $\mathbb{Z}$. Рассмотрим траекторию точек $(< n\alpha_1>,<n\alpha_2>), n \in \mathbb{Z}, 0 \le n \le N - 1$ на торе $\mathbb{T}^2=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$.
Пусть $(<n_1 \alpha_1>,<n_1\alpha_2>)$ ближайшая к $(<0\cdot\alpha_1>,<0\cdot\alpha_2>) = (0,0)$ точка траектории, $N$ отвечает специальным условиям. Тогда $n_1\ge 2\sqrt{2N-1}-1$.