The chromaticity of complete split graphs

Соединение нулевого графа $O_m$ и полного графа $K_n$, $O_m+K_n=S(m,n)$, называется полным разделенным графом. В этой статье мы характеризуем хроматическую уникальность, определяем хроматический номер списка и характеризуем уникальную раскрашиваемость списка для полного графа разделения $G=S(m,n)$. Мы докажем, что $G$ хроматически уникален тогда и только тогда, когда $1 \ le m \ le 2$, $ch (G)=n + 1$, $G$ является уникальным раскрашиваемым графом с $3$-списком тогда и только тогда, когда $m\ge 4$, $n\ge 4$ и $m+n\ge 10$, $m(G)\le 4$ на каждые $1\le m\le 5$ и $n\ge 6$. Также доказано некоторое свойство графа $G=S(m,n)$, когда он представляет собой $k$-листовой раскрашиваемый граф.