Трансцендентность некоторых $2$-адических чисел

В работе доказывается трансцендентность в поле $2$-адических чисел хотя бы одного из двух $2$-адических чисел, представляющих собой суммы в поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_2 $ рядов типа Эйлера
$$ f_{0}(z)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda)_{n}z^{n}, f_{1}(z)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda +1)_{n}z^{n},$$
где $ \lambda $ представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число, $z=1.$ Как обычно, символ Похгаммера обозначается $(\gamma)_{n}$ , по определению, $(\gamma)_{0}=1$ , а при $n\geq 1$ имеем $ (\gamma)_{n}=\gamma(\gamma+1)...(\gamma+n-1)$. Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ . Мы рассматриваем поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_2 $. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое чмсло Лиувилля. Напомним, что каноническое разложение полиадического числа $\lambda$ имеет вид
$$ \lambda= \sum_{n=0}^\infty a_{n} n!, a_{n}\in\mathbb{\mathrm{Z}}, 0\leq a_{n}\leq n.$$
Этот ряд сходится в любом поле $p-$ адических чисел $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ . Будем называть полиадическое число $\lambda$ полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P$ существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел $p$ , удовлетворяющих неравенству $p\leq P$ выполнено неравенство
$$\left|\lambda -A \right|_{p}<|A|^{-n}.$$
Ранее было доказано простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля $\mathbb{\mathrm{Q}}_p.$ Иными словами, полиадическое число Лиувилля - глобально трансцедентное число. Это позволяет, используя некоторое тождество для обобщённых гипергеометрических рядов и предыдущие результаты автора доказать, что существует бесконечное множество полей $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ , в которых трансцендентностно хотя бы одно из значений рядов $f_{0}(z),f_{1}(z).$ В этой работе доказывается трансцендентность значений в конкретном поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_2 $.