Неравенство типа Колмогорова в пространстве Бергмана $B_2$ и некоторые его приложения

Пусть $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $\mathbb{Z_{+}}$ – множество неотрицательных целых чисел, $\mathbb{C}$ – множество комплексных чисел, $A(U)$ – множество аналитических в единичном круге $U:=\left\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\right\}$ функций, $B_2$ – пространство Бергмана функций $f\in A(U)$, наделенных конечной нормой
$$\|f\|_2:=\|f\|_{B_2}=\left(\frac{1}{\pi}\displaystyle\iint_{(U)}|f(z)|^2d\sigma\right)^{1/2}.$$
Для $f\in A(U)$ обычную производную порядка $m\in \mathbb{N}$ обозначим через $f^{(m)}(z)$ и введём класс функций
$$B^{(m)}_2:=\left\{f\in B_2:\|f^{(m)}\|_2<\infty\right\}.$$
Пусть $E_{n-1}(f)_2$ – величина наилучшего приближения функции $f\in B_2$ комплексными алгебраическими полиномами степени $\leq n-1.$ В данной работе найден ряд точных неравенств между величиною наилучшего приближения промежуточных производных $E_{n-\nu-1}(f^{(\nu)})_2$ $(\nu=1,2,\cdots,m-1; m\geq2)$ и наилучшего приближения $E_{n-m-1}(f^{(m)})_2$ старшей производной $f^{(m)}.$ Пусть $W^{(m)}_2:=W^{(m)}_2(U) \hspace{1mm} (m\in \mathbb{N})-$класс функций $f\in B^{(m)}_2,$ для которых $\|f^{(m)}\|_2\leq 1$. В работе доказано, что при любых $n,m\in \mathbb{N}, \nu\in\mathbb{Z_+}, n>m\geq\nu$ имеет место равенство
$$E_{n-\nu-1}(W^{(m)}_2)_2=\sup\{E_{n-\nu-1}(f^{(\nu)})_2: f\in W^{(m)}_2\}= \frac{\alpha_{n,\nu}}{\alpha_{n,m}}\cdot\sqrt{\frac{n-m+1}{n-\nu+1}},$$
а также для функций $f\in B^{(m)}_2$ при всех $1\leq\nu\leq m-1, m\geq2$ найдено точное неравенство типа Колмогорова
$$ E_{n-\nu-1}(f^{(\nu)})_2\leq A_{m,\nu}(n)(E_{n-1}(f)_2)^{1-\nu/m}\cdot(E_{n-m-1}(f^{(m)})_2)^{\nu/m},$$
где постоянная $A_{m,\nu}(n)$ явно выписывается. Дано некоторые приложения полученного неравенства.