Представление субгармонических функций в полукольце и в полукруге

Работа содержит в себе результаты, в которых даются представления субгармонических функций на наиболее упоминаемых множествах в полуплоскости — полукольце и полукруге. Классическими результатами в этом направлении являются, например, формулы Неванлинны, Пуассона — Иенсена и Симидзу — Альфорса о представлении мероморфной функции в замкнутом круге и в замкнутом полукруге, а также теорема Рисса — Мартина о представлении субгармонических функций. В работах Т. Карлемана (1933) и Б. Я. Левина (1941) для функций, аналитических и мероморфных в замыкании полукольца и в замыкании полукруга на комплексной плоскости, были получены формулы, связывающие логарифм модуля функции с расположением её нулей и полюсов. Эти формулы нашли многочисленные приложения в теории целых и мероморфных функций. Независимо друг от друга Дж. Ито и А. Ф. Гришин (1968) распространили формулы Левина и Карлемана на функции субгармонические в открытом полукруге. Заметим, однако, что формулы А. Ф. Гришина с использованием функции Мартина, на наш взгляд, являются более наглядными и удобными для практического применения. Кроме того, А. Ф. Гришин сформулировал (без доказательства) теорему о представлении субгармонической функции в полуоткрытом полукольце. Н. В. Говоров (1968) распространил формулы Левина и Карлемана на функции аналитические в полузамкнутом полукруге и в полузамкнутом полукольце. Под выражением "полузамкнутое множество" мы понимаем множество на комплексной плоскости, часть границы которого принадлежит множеству, а остальная часть границы ему не принадлежит. В частности, под полузамкнутым полукольцом или полузамкнутым полукругом в верхней полуплоскости комплексного переменного мы понимаем полукольцо или полукруг, пересечение границы которого с вещественной осью не принадлежит данному множеству.
В статье мы распространяем формулу Гришина на субгармонические функции в открытом полукольце. Мы вводим понятие полной меры субгармонической функции в открытом полукольце, которое обобщает понятие полной меры в смысле Гришина. Благодаря этому получается наиболее простое по форме и при наименьших ограничениях на функцию представление субгармонической функции в открытом полукольце.