Доказательство правила Лопиталя

В настоящей работе представлено новое доказательство правила Лопиталя, предлагаемое для изучения преподавателям, читающим курс математического анализа. Соответствующая теорема сформулирована и доказана для 6 пределов $x \to a$, $x \to a + 0$, $x \to a - 0$, $x \to +\infty$, $x \to -\infty$, $x \to +\infty$, для 2 неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ и для 4 значений предела $A \in (-\infty, +\infty)$, $A = -\infty$, $A = +\infty$, $A = \infty$, т. е. представленная теорема покрывает $6 * 2 * 4 = 48$ частных случаев правила Лопиталя. Представленное доказательство отличается от многих традиционных доказательств тем, что кроме определения предела функции по Коши в нём также используется определение предела функции по Гейне. В качестве важного вспомогательного утверждения, позволяющего применить определение предела функции по Гейне, используется теорема о единственном частичном пределе. Данное утверждение позволяет также применить арифметические свойства пределов последовательности в доказательстве для неопределённости вида $\frac{\infty}{\infty}$ и предела $x \to a + 0$, т.е. для случая, где достигается наиболее существенное упрощение доказательства.