О диофантовых неравенствах с простыми числами

В статье рассматриваются две задачи о приближении заданного положительного числа $N$ суммой двух простых чисел, а также суммой простого числа и двух квадратов простых чисел.
В 2001 г. Р. Бейкер, Г. Харман и Дж. Пинтц доказали для числа решений неравенства $|p-N|\leqslant H$ в простых числах $p$ правильную по порядку оценку снизу при $H\geqslant N^{21/40+\varepsilon}$, где $\varepsilon$ — произвольно малое положительное число. С использованием этого результата и плотностной техники в настоящей работе доказана оценка снизу для числа решений неравенства $|p_1+p_2-N| \leqslant H$ в простых числах $p_1$, $p_2$ при $H\geqslant N^{7/80+\varepsilon}$.
Кроме того, на основе плотностной техники доказана также оценка снизу для числа решений неравенства $\left|p_1^2+p_2^2+p_3-N\right| \leqslant H$ в простых числах $p_1$, $p_2$ и $p_3$ при $H\geqslant N^{7/72+\varepsilon}$.