О некоторых арифметических применениях к теории симметрических групп

Работа посвящена некоторым арифметическим применениям к теории симметрических групп. С помощью свойств сравнений и классов вычетов из теории чисел установлено существование в симметрической группе $S_{n}$ степени $n$ циклических, абелевых и неабелевых подгрупп соответственно порядков $k$, $\varphi(k)$ и $k \varphi(k)$, где $k \leq n$, $\varphi$ – функция Эйлера, т.е. получены представления групп $\left( \mathbb{Z} / k\mathbb{Z}, + \right)$, $\left( \mathbb{Z} / k\mathbb{Z} \right)^{*}$ и их произведения через подстановки степени $k$. При этом изоморфные вложения этих групп строятся, следуя доказательству теоремы Кэли, но наряду с этим используется понятие линейного перестановочного двучлена $\overline{a} x + \overline{b}$ кольца вычетов $\mathbb{Z} / k\mathbb{Z}$, где $\text{НОД}\,\left(a, k\right) = 1$.
Кроме того, результат, относящийся к изоморфному вложению группы $\left( \mathbb{Z} / k\mathbb{Z} \right)^{*}$ в группу $S_{k}$ распространяется на знакопеременную группу $A_{k}$ при нечётных $k$.
Во второй части работы рассматриваются некоторые применения теории простых чисел к циклическим подгруппам симметрической группы $S_{n}$. В частности, применяя формулу суммирования Эйлера-Маклорена и оценки для $k$-го простого числа, получена нижняя оценка для максимального числа простых делителей порядков циклических подгрупп в симметрической группе $S_{n}$.