Об одном распределении, связанном с рядами Фарея

В настоящей работе методом, принадлежащим Ф. Бока, К. Кобели и А. Захареску (2001) исследуются некоторые арифметические свойства дробей Фарея. Пусть $D\geqslant 2$ - фиксированное целое число, $\Phi_{Q}$ - классический ряд Фарея порядка $Q$. Раскрасим в красный цвет те дроби ряда $\Phi_{Q}$, знаменатели которых кратны $D$. Далее, выберем из промежутков с раскрашенными концами те, что содержат внутри себя лишь дроби, знаменатели которых не делятся на $D$. Каковы предельные (при $Q\to +\infty$) доли $\nu(r;D)$ таких промежутков, заключающих внутри ровно $r$ дробей ряда $\Phi_{Q}$, в общем числе рассматриваемых промежутков ($r = 1,2,3,\ldots$)?
Формула для этой доли была найдена, по сути, К. Кобели, М. Выжийту и А. Захареску (2014), поскольку могла быть выведена как следствие полученного ими общего результата. Однако формула трёх авторов выражает искомую долю через сумму площадей фигур, связанных с некоторым геометрическим преобразованием треугольника Фарея - подобласти единичного квадрата вида $x+y>1$, $0<x,y\leqslant 1$. В настоящей работе даётся вывод явной формулы, выражающей доли $\nu(r;D)$ в случаях $D = 2, 3$ через величину $r$, $r=1,2,3,\ldots$.