|
Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями
Г.В. Федоров Научно-технологический университет «Сириус» (г. Москва)
Аннотация:
В статье исследуются верхние оценки на длины периодов функциональных непрерывных дробей для ключевых элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, конечная длина периода тривиальным образом оценивается сверху удвоенной степенью фундаментальной $S$-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым для гиперэллиптических полей $\mathcal{L} = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\deg f = 2g+2$, над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел найден точный промежуток значений $s \in \mathbb{Z}$ таких, что непрерывные дроби элементов вида $\sqrt{f}/x^s \in \mathcal{L} \setminus \mathbb{Q}(x)$ периодические. В данной статье найдено обобщение этого результата для произвольного поля в качестве поля констант. Опираясь на этот результат, найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями $K$, зависящие только от рода $g$ гиперэллиптического поля, степени расширения $k = [K:\mathbb{Q}]$ и порядка $m$ подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.
Ключевые слова:
Непрерывные дроби, длина периода, гиперэллиптическое поле, фундаментальные $S$-единицы, проблема кручения в якобианах.
Поступила в редакцию: 26.04.2023 Принята в печать: 12.09.2023
Образец цитирования:
Г.В. Федоров, “Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями”, Чебышевский сб., 24:3 (2023), 162–189
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb1330 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v24/i3/p162
|
|