Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2023, том 24, выпуск 2, страницы 228–247
DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-228-247
(Mi cheb1316)
 

Рассмотрение особого ряда асимптотической формулы задачи Клоостермана

Л. Н. Куртова, Н. Н. Мотькина

Белгородский государственный национальный исследовательский университет (г. Белгород)
Список литературы:
Аннотация: В данной работе рассматривается задача о представлении натурального числа $n$ диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными $ax^2+by^2+cz^2+dt^2$, где $a$, $b$, $c$, $d$ – заданные положительные целые числа. Ставится вопрос — определить, при каких условиях на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ не существует такого представления для заданного $n$. Такие условия, полученные на основании теории сравнений или без доказательства, приводятся в работе Клоостермана (1926). Клоостерман также получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения $n=ax^2+by^2+cz^2+dt^2$. Главный член формулы является рядом $\sum\limits_{q=1}^{+\infty}\Phi(q)$ от мультипликативной функции $\Phi(q)$, содержащей одномерные суммы Гаусса с коэффициентами $a$, $b$, $c$, $d$. Наша работа связана с изучением представления этого особого ряда в виде произведения по простым числам $\prod\limits_{p| q}(1+\Phi(p)+\Phi(p^2)+\cdots)$.
Ранее авторы рассмотрели случай, когда $p\neq2$. С использованием точных формул для одномерных сумм Гаусса, суммы Рамануджана и обобщенной суммы Рамануджана от степени простого числа доказаны условия на коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$, $n$, при которых уравнение $n=ax^2+by^2+cz^2+dt^2$ не имеет решений.
В этой работе рассматривается случай, когда $p=2$ и $n$ – нечетное. С учетом формул для одномерных сумм Гаусса от степени двойки возникают некоторые суммы, родственные сумме Клоостермана, которые ранее не изучались. Для таких сумм от степени двойки нами были получены точные значения. Это позволило привести полное доказательство условий для коэффициентов $a$, $b$, $c$, $d$, хотя бы два из которых четные. При этих условиях нечетное натуральное число нельзя представить диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными. Отметим, что некоторые из этих условий являются новыми и не упоминаются в работе Клоостермана.
Ключевые слова: асимптотическая формула, сумма Гаусса, сумма Клоостермана.
Поступила в редакцию: 19.02.2021
Принята в печать: 14.06.2023
Тип публикации: Статья
УДК: 511.32
Образец цитирования: Л. Н. Куртова, Н. Н. Мотькина, “Рассмотрение особого ряда асимптотической формулы задачи Клоостермана”, Чебышевский сб., 24:2 (2023), 228–247
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KurMot23}
\by Л.~Н.~Куртова, Н.~Н.~Мотькина
\paper Рассмотрение особого ряда асимптотической формулы задачи Клоостермана
\jour Чебышевский сб.
\yr 2023
\vol 24
\issue 2
\pages 228--247
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb1316}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-228-247}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb1316
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v24/i2/p228
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024