Области сходимости дзета-функции некоторых моноидов натуральных чисел

В работе исследуется вопрос об области абсолютной сходимости дзета-ряда для некоторых моноидов натуральных чисел. Рассмотрены два основных случая: моноиды с $C$ степенной $\theta$-плотностью и моноиды с $C$-логарифмической $\theta$-степенной плотностью.
Введено новое понятие — сильная $\vec{C}=(C_1,\ldots,C_n)$ степенная $\vec{\theta}$-плотность. Для дзета-функции последовательности натуральных чисел $A$ с сильной $\vec{C}=(C_1,\ldots,C_n)$ степенной $\vec{\theta}$-плотностью доказана теорема, согласно которой дзета-функция $\zeta(A|\alpha)$ является аналитической функцией переменной $\alpha$, регулярной при $\sigma>0$, имеющая $n$ полюсов первого порядка, и найдены вычеты в этих полюсах.
Для случая $C$ логарифмической $\theta$-степенной плотности доказан принципиально другой результат: если моноид $M$ имеет $C$ логарифмическую $\theta$-степенную плотность с $0<\theta<1$, то дзета-функция моноида $M$ имеет область голоморфности полуплоскость $\sigma>0$ и мнимая ось является линией особенностей.
В третьем разделе рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении дзета-функции моноида натуральных чисел в трёх случаях: для моноида $k$-ых степеней натуральных чисел, для множества натуральных чисел свободных от $k$-ых степеней и для объединения двух моноидов $k$-ых степеней натуральных чисел, когда показатели степеней взаимно простые числа.
Во всех трёх случаях показано, что аналитическое продолжение существует на всю комплексную плоскость. Найдены функциональные уравнения для каждого из трёх случаев. Они все имеют принципиально разный вид. Кроме этого, для каждого аналитического продолжения в критической полосе найдены новые свойства дзета-функции, которые отсутствуют у дзета-функции Римана.
В заключении перечислены перспективные, актуальные темы дальнейших исследований.