Об исключительном множестве одной системы линейных уравнений с простыми числами

Пусть $ X $ — достаточно большое действительное число, $b_{1},b_{2}$ — целые числа с условием $1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}}\le X, {{a}_{ij}}, (i=1,2; j=\overline{1,4})$ — целые положительные числа, ${{p}_{1}},\dots,{{p}_{4}}$ — простые числа. Положим $ B=\max\left\{3\left|{{a}_{ij}}\right|\right\}, {({i=1,2;j=\overline{1,4}})},$ $\bar{b}=(b_{1},b_{2}),$ $K= 9\sqrt{2}B^{3}\left|\bar{b}\right|,$ $E_{2,4}(X)= \left\{{{b}_{i}} \bigm| 1\leq b_{i}\leq X, \ {{b}_{i}}\ne {{a}_{i1}}{{p}_{1}}+\cdots +{{a}_{i4}}{{p}_{4}}, i=1,2\right\}.$ В работе изучено разрешимость системы $ {{b}_{i}}={{a}_{i1}}{{p}_{1}}+\cdots +{{a}_{i4}}{{p}_{4}}, (i=1,2),$ в простых числах $p_{1},\ldots,p_{4}$ и впервые получена степенная оценка для исключительного множества $E_{2,4}(X)$ и оценка снизу для $R(\bar b)-$ количество решений рассматриваемый системы в простых числах, а именно доказано, что если $X$ - достаточно большое, а $\delta (0<\delta<1)$ достаточно малое действительные числа, тогда: существует достаточно большое число $ A, $ такое, что при $ X>{{B}^{A}} $ справедлива оценка ${{E}_{2,4}}(X)< {{X}^{2-\delta }}$ и для $R(\bar b)$ при заданном $\bar{b}=(b_{1},b_{2}), 1\le b_{1},b_{2}\le X$ справедлива оценка $ R(\bar{b})\ge {{K}^{2- {{\delta }}}}{{\left( \ln K\right)^{-4}}}, \ $ для всех $\bar b=(b_{1},b_{2})$ за исключением не более чем ${X}^{2-{\delta}}$ пар из них.