Базисы полных систем рациональных функций с рациональными коэффициентами

Функциональная система представляет собой множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого же множества.
Функциональные системы являются одним из основных объектов дискретной математики и математической кибернетики, поскольку они являются математическими моделями реальных и абстрактных управляющих систем.
Проблематика функциональных систем обширна. Одной из основных задач является проблема полноты, состоящая в описании таких подсистем функций, которые являются полными, т.е. из этих функций с помощью заданных операций над ними можно получить все функции.
В статье рассматривается функциональная система рациональных функций с рациональными коэффициентами, где в качестве операций выступают операции суперпозиции и для этой системы исследуется задача о базисах полных систем, а именно:

• Имеет ли каждая полная система (конечный) базис?
• Существует ли для любого положительного целого числа $n$ базис полной системы, состоящий из $n$ функций?
• Найти конкретные базисы из $n$ функций $(n=1, 2, 3, ...)$.

Ответы на все эти вопросы положительные, что и является основным результатом данной статьи.