Когомологии де Рама алгебры полиномиальных функций на симплициальном комплексе

Мы рассматриваем алгебру $A^0(X)$ полиномиальных функций на симплициальном комплексе $X$, которая является компонентой степени $0$ введенной Сулливаном dg-алгебры $A^\bullet (X)$ полиномиальных форм. Все рассматриваемые алгебры над произвольным полем $k$ характеристики $0$.
Нашей целью является вычисление когомологий де Рама алгебры $A^0 (X)$, то есть когомологий универсальной dg-алгебры $\Omega ^\bullet _{A^0(X)}$. Имеется канонический морфизм dg-алгебр $P:\Omega ^\bullet _{A^0(X)} \to A^\bullet (X)$. Мы доказываем, что морфизм $P$ является квазиизоморфизмом. Таким образом, когомологии де Рама алгебры $A^0 (X)$ канонически изоморфны когомологиям симлициального комплекса $X$ с коэффициентами в поле $k$. Более того, для $k=\mathbb{Q}$, dg-алгебра $\Omega ^\bullet _{A^0(X)}$ служит моделью симплициального комплекса $X$ в смысле рациональной теории гомотопий. Наш результат показывает, что для алгебры $A^0(X)$ верно утверждение теоремы сравнения Гротендика (доказанной им для гладких алгебр).
Для доказательства мы рассматриваем резольвенты Чеха, ассоциированные с покрытием симплициального комплекса звездами вершин.
Ранее Кан — Миллер доказали, что морфизм $P$ сюръективен, а также описали его ядро. Другое описание ядра дали Сулливан и Феликс — Джессап — Паран.