Нелинейный метод угловых пограничных функций в задачах с кубическими нелинейностями

В прямоугольнике $\Omega =\{(x,t) | 0<x<1, 0<t<T\}$ рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения
$$ \varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon), (x,t)\in \Omega, $$

$$ u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x), 0\le x\le 1, $$

$$ u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), 0\le t\le T. $$
Предполагается, что в угловых точках прямоугольника функция $F$ относительно переменной $u$ является кубической. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который предполагает выполнение следующих шагов:
1) разбиение области на части;
2) построение в каждой подобласти нижних и верхних решений задачи;
3) непрерывная стыковка нижних и верхних решений на общих границах подобластей;
4) последующее сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений.
В настоящей работе удалось построить барьерные функции, пригодные сразу во всей области. Вид барьерных функций определяются с помощью погранслойных функций, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с учетом необходимых свойств искомых решений. В результате построено полное асимптотическое разложение решения при $\varepsilon\rightarrow 0$ и обоснована его равномерность в замкнутом прямоугольнике.