Развитие концептуальных положений качественной теории

Работа посвящена изучению эволюции основных положений качественной теории, под знаком которой происходило развитие всей математики ХХ в. В развитии качественной теории можно выделить несколько этапов с четко выраженными тенденциями: становление качественной теории, когда сложились новые подходы, новый язык и система понятий (конец XIX – 20-е гг. ХХ в.); следующий этап – широкое привлечение методов топологии и функционального анализа, вероятностных представлений и расширение качественной теории с выделением самостоятельных областей (конец 1920-х – середина ХХ в.); с середины ХХ в. по настоящее время – современный этап. Он выделяется тем, что в качественной теории воплотилось представление о математике как единой науке. Качественная теория вобрала в себя идеи и методы самых разных разделов (топологии, функционального анализа, теории групп Ли и др.). Объединяющая роль качественной теории заключается в том, что в ней воплощаются две культуры в математике, одна из них направлена на решение задач, а другая – на построение и осмысление теорий. В этом отношении качественная теория не просто конкретный раздел, а своеобразный подход к математическим проблемам. Особенностью современного этапа является еще невиданное сближение с областью приложений, особенно с физикой. Физика является не просто потребителем, она стимулировала кардинальные изменения самой математики. Становится трудно провести различимую границу между некоторыми разделами математики и теоретической физики. Качественная теория преобразила облик всей математики и ее приложений.