Reducing smooth functions to normal forms near critical points

Работа посвящена «равномерному» приведению гладких функций на двумерных многообразиях к каноническому виду вблизи критических точек этих функций. Функция $f(x,y)$ имеет особенность типа $A_k$, $E_6$ или $E_8$ в своей критической точке, если в некоторых локальных координатах с центром в этой точке ряд Тейлора функции имеет вид $x^2+y^{k+1}+R_{2,k+1}$, $x^3+y^4+R_{3,4}$, $x^3+y^5+R_{3,5}$ соответственно, где через $R_{m,n}$ обозначена сумма мономов более высокого порядка, т.е. $R_{m,n}=\sum a_{ij}x^iy^j$, где $\frac{i}{m}+\frac{j}{n}>1$. Согласно результату В. И. Арнольда (1972), эти особенности просты и гладкой заменой переменных приводятся к каноническому виду, в котором член $R_{m,n}$ равен нулю.
Для особенностей типов $A_k$, $E_6$ и $E_8$ мы явно строим такую замену и оцениваем снизу (через $C^r$-норму функции, где $r=k+3,7$ и $8$ соответственно) максимальный радиус окрестности, в которой определена замена. Наша замена является «равномерным» приведением к каноническому виду в том смысле, что построенные нами окрестность и замена координат в ней (а также все частные производные замены координат) непрерывно зависят от функции $f$ и ее частных производных.