Энтропия для некоторых моноидов натуральных чисел

В абстрактной теории чисел и её приложениях к статистической физике важную роль играет понятие энтропии. Так как энтропия равна логарифму функции распределения, то изучение поведения энтропии моноида равносильно решению обратной задачи для этого моноида.
В работе рассмотрены вопросы об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией.
Во-первых, задача решена для двух моноидов типа геометрическая прогрессия.
Во-вторых, полученные результаты относительно энтропии для моноидов с произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа $q$ на основании полученного ранее авторами решения обратной задачи для моноидов этого типа.
Наконец, для произвольного основного моноида ${M(\mathbb{P}(q))}$ типа $q$ на основании решения обратной задачи, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида ${M(\mathbb{P}(q))}$, исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел $\mathbb{P}(q)$ типа $q$, получены оценки для энтропии.
Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида ${M(\mathbb{P}(q))}$ типа $q$ и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.
Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Введено новое понятие $C$ логарифмической $\theta$-степенной плотности. Показано, что любой моноид ${M(\mathbb{P}(q))}$ для последовательности псевдопростых чисел $\mathbb{P}(q)$ типа $q$ имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного основного моноида ${M(\mathbb{P}(q))}$ типа $q$.
Показано, что если $C$ логарифмическая $\theta$-степенная плотность для основного моноида ${M(\mathbb{P}(q))}$ типа $q$ существует, то $\theta=\frac{1}{2}$ и для константы $C$ справедливы неравенства $ \pi\sqrt{\frac{1}{3\ln q}}\le C\le \pi\sqrt{\frac{2}{3\ln q}}. $
Для основных моноидов ${M(\mathbb{P}(q))}$ типа $q$ остается открытым вопрос о существовании $C$ логарифмической $\frac{1}{2}$-степенной плотности и величине константы $C$.